设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=Ay,0<y<x<1 0，其他（1）求A
（2）求P（X≤1/2）
（3）求P（ X+Y≤1/2）
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你好：
（1）由于f(x,y)是一个密度函数，因此它的积分应该等于1：∫∫f(x,y) dxdy = 1
对于这个积分，可以先对y积分，再对x积分：∫∫f(x,y) dxdy = ∫0^1∫y^1 Ay dxdy + ∫0^1∫0^y 0 dxdy
= ∫0^1 Ay(y-x) dx + 0
= A/2
因此，A/2 = 1，即A = 2.
（2）要求P(X≤1/2)，可以将积分限制在y
= ∫0^(1/2) 2y(1/2-y) dy
= 1/12
（3）要求P(X+Y≤1/2)，可以将积分限制在x+y≤1/2的三角形区域内：P(X+Y≤1/2) = ∫0^(1/2)∫0^(1/2-x) 2y dxdy
= ∫0^(1/2) (1-x)^2 dx
= 1/12
因此，P(X+Y≤1/2) = 1/12.
咨询记录 · 回答于2024-01-02
（3）求P（ X+Y≤1/2）
（1）由于f(x,y)是一个密度函数，因此它的积分应该等于1：∫∫f(x,y) dxdy = 1
对于这个积分，可以先对y积分，再对x积分：∫∫f(x,y) dxdy = ∫0^1∫y^1 Ay dxdy + ∫0^1∫0^y 0 dxdy
= ∫0^1 Ay(y-x) dx + 0
= A/2
因此，A/2 = 1，即A = 2.
（2）要求P(X≤1/2)，可以将积分限制在y
= ∫0^(1/2) 2y(1/2-y) dy
= 1/12
（3）要求P(X+Y≤1/2)，可以将积分限制在x+y≤1/2的三角形区域内：P(X+Y≤1/2) = ∫0^(1/2)∫0^(1/2-x) 2y dxdy
= ∫0^(1/2) (1-x)^2 dx
= 1/12
因此，P(X+Y≤1/2) = 1/12.【摘要】
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=Ay,0
0，其他
（1）求A
（2）求P（X≤1/2）
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