Question

1.设D是由y=0,y=x及x=2所围的平面薄片,其上各点的面密度为ρ(x,y)=x+y，试求薄片质量

Answer 1

问：1.设D是由y=0,y=x及x=2所围的平面薄片,其上各点的面密度为ρ(x,y)=x+y，试求薄片质量

答：亲，薄片的质量为密度乘以面积，因此我们需要先求出面积。根据图像，可以发现该薄片可以分为两个三角形和一个矩形，因此有：矩形面积S1 = 2 × (1-0) = 2三角形面积S2 = 1/2 × (2-0) × (2-0) = 2三角形面积S3 = 1/2 × (2-1) × (1-0) = 1/2因此，薄片的总面积为S = S1 + S2 + S3 = 4.5接下来，计算质量：质量m = ρ × S = ∬D ρ(x, y) dxdy = ∫0^1 ∫0^x (x+y) dydx + ∫1^2 ∫0^(2-x) (x+y) dydx = ∫0^1 (x+y)∣0^x dx + ∫1^2 (x+y)∣0^(2-x) dx = ∫0^1 x^2/2 + x dx + ∫1^2 (2x-x^2)/2 dx = 5/6因此，薄片的质量为5/6。

问：没有图象，能用纸写下来拍照发吗

答：亲，您可直接截图

问：计算∬2xydσ其中D是由直线y=1，x＝5及y=x²所围成的闭区域。

答：亲，首先，我们需要将被积函数写成极坐标下的形式，即：2xy = 2r^2cosθsinθ然后，我们需要确定积分区域D在极坐标下的表示。由题意可知，D被直线y=1、x=5和y=x^2所围成，因此，其在直角坐标下的顶点坐标为(5,1)和(1,1)，以及(1,1)处的切线斜率为2。这里，我们可以将整个区域分成两部分来处理：第一部分：y=x^2到y=1的区域，θ的取值范围是[0,π/2]。第二部分：x=1到x=5，θ的取值范围是[π/2,π]。因此，根据极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D 2xydσ = ∫0^π/2 ∫0^1 2r^2cosθsinθ r dr dθ + ∫π/2^π ∫0^5 2r^2cosθsinθ r dr dθ = 2 ∫0^π/2 cosθsinθ dθ ∫0^1 r^3 dr + 2 ∫π/2^π cosθsinθ dθ ∫0^5 r^3 dr = 2 (∫0^π/2 sin 2θ dθ) [r^4/4]∣0^1 + 2(∫π/2^π -sin 2θ dθ) [r^4/4]∣0^5

答：= 2 ([-cos2θ/2]∣0^π/2 - [-cos2θ/2]∣π/2^π) (1/4 - 0 + 0 - 0) + 2 ([-cos2θ/2]∣0^π/2 - [-cos2θ/2]∣π/2^π) (625/4 - 0 + 0 - 0)= 2 (-1/2 + 1/2 - (-1/2) + 1/2) (1/4) + 2 (-1/2 + 1/2 - (-1/2) + 1/2) (625/4)= 0 + 2 (625/4)= 625/2因此，原二重积分的值为625/2。

问：求函数z=ln(3+x²+y²)当x=1，y=2时的全微分

答：亲，首先，我们需要对函数z=ln(3+x²+y²)求偏导数，分别对x和y求偏导数得到：∂z/∂x = 2x/(3+x²+y²)∂z/∂y = 2y/(3+x²+y²)然后，再对x和y求偏导数得到偏导数的偏导数，即二阶偏导数：∂²z/∂x² = (2(3-y²))/((3+x²+y²)²)∂²z/∂y² = (2(3-x²))/((3+x²+y²)²)∂²z/∂x∂y = -4xy/((3+x²+y²)²)因此，我们可以根据全微分公式 dZ = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy 来求解，将x=1，y=2代入，得到：dZ = (2/14)dx + (4/14)dy这就是函数z=ln(3+x²+y²)当x=1，y=2时的全微分。

问：设2sin(4x+2y-3z)=4x+2y-3z,证明∂Z/∂X➕∂Z/∂Y＝2

答：亲，您发送的我们解析不出来，

问：求∞Σn＝1(x-2)ⁿ/√n收敛域

答：综上所述，级数∑(x-2)ⁿ/√n的收敛域为[x-21]，也就是区间(1,3)并去掉两个端点1和3。