Question

向量a、b、c，｜a｜=｜b｜=｜a+b｜，|c|=2|a-c|= 2，求|b-c|最小值

Answer 1

问：向量a、b、c，｜a｜=｜b｜=｜a+b｜，|c|=2|a-c|= 2，求|b-c|最小值

答：根据题目中的条件，我们可以得到以下两个等式：|a| = |b||a + b| = |a|根据三角不等式，我们有 |b + c| ≤ |b| + |c|，即 |b - c| ≤ |b| + |c|我们希望使得 |b - c| 最小，那么 |b| + |c| 也应该最小。根据题目中的条件 |c| = 2|a - c| = 2，也就是 |a - c| = 1。将 a - c 替换为 x，则有 |x| = 1，也即 |x|^2 = 1。再根据题目中的等式 |a + b| = |a|，我们有 (a + b)·(a + b) = a·a，即 a·a + 2a·b + b·b = a·a。化简得到 a·b + b·b = 0，也即 a·b = -b·b 。同理，将 a - c 替换为 x 后，有 a·x = -x·x。我们将 a·b 和 a·x 组成的方程联立起来，得到 b·a = x·x 。由于 a·b = -b·b 且 b·a = x·x，所以 -b·b = x·x。结合 |b|^2 = b·b 和 |x|^2 = x·x，可得 |b|^2 = |x|^2。考虑到 |b| = |a|，所以 |a|^2 = |b|^2 = |x|^2 = 1。也即 a·a = b·b = x·x = 1，且 a·b = -b·b，a·x = -x·x，b·a = x·x。回顾 |b - c| ≤ |b| + |c| 的不等式，由于 |b| = |a| = 1，所以 |b - c| ≤ 1 + |c|。之后我们再考虑到 |c|=2，将其带入不等式中，可得到 |b - c| ≤ 1 + 2 = 3。所以 |b - c| 的最小值为 3。