判断级数_(n=1)^(1/(n^2)-(4^(n11))/(5^n))的敛散性()A.收敛B.发散C.n>5时收
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我们可以使用比较审敛法来判断该级数的敛散性。设$a_n=(n=1)^{1/(n^2)-(4^{n11})/5^n}$，此时我们需要找到一个已知的正项级数$b_n$，使得$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}$存在且为正，那么$a_n$与$b_n$的敛散性相同。考虑到子项（也即分子部分）与$\frac{1}{n^2}$同阶无穷小，而分母无穷逼近指数函数，级数的趋势应该是比较类似于$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$的，所以我们取$b_n=\dfrac{1}{n^{1/2}}$。此时，$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n^{1/2}\left(\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{4^{n11}}{5^n}\right)$$ 注意到$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{4^{n11}}{5^n}=0$，所以$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{\sqrt{n}}{n^2}\rightarrow 0$$ 由比较审敛法，$b_n=\dfrac{1}{n^{1/2}}$为发散的，所以原级数也为发散的。综上所述，该级数为发散的。
咨询记录 · 回答于2023-06-15
判断级数_(n=1)^(1/(n^2)-(4^(n11))/(5^n))的敛散性()A.收敛B.发散C.n>5时收
我们可以使用比较审敛法来判断该级数的敛散性。设$a_n=(n=1)^{1/(n^2)-(4^{n11})/5^n}$，此时我们需要找到一个已知的正项级数$b_n$，使得$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}$存在且为正，那么$a_n$与$b_n$的敛散性相同。考虑到子项（也即分子部分）与$\frac{1}{n^2}$同阶无穷小，而分母无穷逼近指数函数，级数的趋势应该是比较类似于$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}$的，所以我们取$b_n=\dfrac{1}{n^{1/2}}$。此时，$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n^{1/2}\left(\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{4^{n11}}{5^n}\right)$$ 注意到$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{4^{n11}}{5^n}=0$，所以$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{\sqrt{n}}{n^2}\rightarrow 0$$ 由比较审敛法，$b_n=\dfrac{1}{n^{1/2}}$为发散的，所以原级数也为发散的。综上所述，该级数为发散的。
亲老师的解题过程没办法给您发图片
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