13. 已知a,b,c均为正实数,且 ab+bc=4, 则 1/(a+b+c) 的最大值为 __
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您好，很高兴为您解答。已知a，b，c均为正实数，且 ab+bc=4， 则 1/(a+b+c) 的最大值为1/2。计算过程如下：由柯西-斯瓦茨不等式可得：(a+b+c)(ab+bc) ≥ (a√b + b√c + c√a)^2。即：(a+b+c)×4 ≥ (a√b + b√c + c√a)^2。开方得：√[(a+b+c)×4] ≥ a√b + b√c + c√a。因为 √[(a+b+c)×4] = 2√(ab+bc)，所以：2√(ab+bc) ≥ a√b + b√c + c√a。两边同时除以2√(ab+bc)，得：1 ≥ [a/(a√b + b√c + c√a)] + [b/(a√b + b√c + c√a)] + [c/(a√b + b√c + c√a)]。由于 a，b，c 均为正实数，所以：1 ≥ [a/(a√b + b√c + c√a)] + [b/(a√b + b√c + c√a)] + [c/(a√b + b√c + c√a)] ≥ [√a + √b + √c]^2 / (a+b+c)。这里用到了 1/(x+y) ≤ 1/x + 1/y 的性质。因此：1 / (a+b+c) ≤ [√a + √b + √c]^2 / 4(ab+bc)。因为已知 ab+bc=4，代入上式得：1/(a+b+c) ≤ [√a + √b + √c]^2 / 16。即：1/(a+b+c) 的最大值为 [√a+√b+√c]^2 / 16。当且仅当 a/b=b/c=√a/√c 时取到最大值，此时可解得 a=1，b=2，c=1。因此最大值为 1/2。
咨询记录 · 回答于2024-01-26
13. 已知a,b,c均为正实数,且 ab+bc=4, 则 1/(a+b+c) 的最大值为 __
亲，您好！
以下是关于13题的详细解答：
已知 a，b，c 均为正实数，且 ab+bc=4，我们需要求 1/(a+b+c) 的最大值。
计算过程如下：
由柯西-斯瓦茨不等式可得：(a+b+c)(ab+bc) ≥ (a√b + b√c + c√a)^2
即：(a+b+c)×4 ≥ (a√b + b√c + c√a)^2
开方得：√[(a+b+c)×4] ≥ a√b + b√c + c√a
因为 √[(a+b+c)×4] = 2√(ab+bc)，所以：2√(ab+bc) ≥ a√b + b√c + c√a
两边同时除以2√(ab+bc)，得：1 ≥ [a/(a√b + b√c + c√a)] + [b/(a√b + b√c + c√a)] + [c/(a√b + b√c + c√a)]
由于 a，b，c 均为正实数，所以：1 ≥ [a/(a√b + b√c + c√a)] + [b/(a√b + b√c + c√a)] + [c/(a√b + b√c + c√a)] ≥ [√a + √b + √c]^2 / (a+b+c)
这里用到了 1/(x+y) ≤ 1/x + 1/y 的性质。
因此：1 / (a+b+c) ≤ [√a + √b + √c]^2 / 4(ab+bc)
因为已知 ab+bc=4，代入上式得：1/(a+b+c) ≤ [√a + √b + √c]^2 / 16
即：1/(a+b+c) 的最大值为 [√a+√b+√c]^2 / 16。
当且仅当 a/b=b/c=√a/√c 时取到最大值，此时可解得 a=1，b=2，c=1。
因此最大值为 1/2。
**拓展补充**：
数学，源于计数、计算、量度以及对物体形状及运动的观察，通过抽象化和逻辑推理得以发展。如今，它已成为许多国家及地区教育范畴中的重要部分。数学的运用广泛，涵盖了科学、工程、医学、经济学和金融学等多个领域。此外，数学家们还致力于研究纯数学，探索数学本身的实质性内容，而不局限于任何实际应用。
14和17
好的
14.∠BAC=30°∠SAC=90°-30°=60°∠SBC=180°-60°-30°=90°∠SBC=90°∴SC⊥平面SAB正切值=tan90°=无穷大
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