Question

3/x+5/y=4x^2+y^2,,求x+y的最小值

Answer 1

问：3/x+5/y=4x^2+y^2,,求x+y的最小值

答：您好，亲，先将3/x + 5/y = 4x^2 + y^2移项并整理得：3/x - 4x^2 = y^2 - 5/y左边和右边都是单变量函数，因此可以分别对其求导。对于左边，有：(3/x - 4x^2)' = -3/x^2 - 8x对于右边，有：(y^2 - 5/y)' = 2y - 5*(-1/y^2) = 2y + 5/y^2令左右两边的导数相等，得到：-3/x^2 - 8x = 2y + 5/y^2

答：您好，亲，将 y 用 x 表示，则有：y = (3/x - 4x^2 - 5/y^2) / 2 = (3/x - 4x^2 - 5(3/x - 4x^2)^2 / 4) / 2将 y 带入 x+y，得到：x+y = x + (3/x - 4x^2 - 5(3/x - 4x^2)^2 / 8)对右侧的部分求导，并令其等于0，可以得到导数为0时的 x 值：d/dx [3/x - 4x^2 - 5(3/x - 4x^2)^2 / 8] = 0

答：您好，化简得到：(108x^4 - 114x^2 - 9) / (8x^3) = 0解得 x^2 = 1/12 或 x^2 = -1/12x^2 的值不可能是负数，因此只有一个实根为 x = 1/√12。将 x = 1/√12 带入 x+y 的式子中，可以得到：x+y = 1/(2√3)

答：您好，亲，因此，当 3/x + 5/y = 4x^2 + y^2 且 x = 1/√12 时，x+y 的最小值为 1/(2√3)。