Question

设是由平面z=0锥面 z=1/2(x^2+y^2)2和柱面 x^2+y^2=4 所围成的区域,试计算三

Answer 1

问：设是由平面z=0锥面 z=1/2(x^2+y^2)2和柱面 x^2+y^2=4 所围成的区域,试计算三

答：亲亲请查收！重心的横坐标。首先，我们需要确定该区域的形状，它由一个底面半径为2的圆形和一个高为1的圆锥体组成。由于问题涉及三重心，因此采用体积分来计算横坐标。设该区域在xoy平面投影的面积为S，则底面圆的面积为S0=π2^2=4π。考虑在xz平面上截取一条高为y的截面，它是一个半径为y的圆形。因此，该截面的面积为πy^2。对于半径为y的圆锥体，其体积可以用以下公式计算：V=13S0y=43πy^3因此，整个区域的体积可以表示为：V=∫2-2 ∫0^√(4-x^2) ∫0^(1/2(x^2+y^2)) 1 dydzdx + ∫2-2 ∫0^√(4-x^2) ∫(1/2(x^2+y^2))^1 √(1/2(x^2+y^2))πy^2 dydzdx = 2π∫0^2 ∫0^√(4-x^2) [y(1/2(x^2+y^2))]dydx + 2π∫0^2 ∫√(4-x^2) ^2 ∫(1/2(x^2+y^2))^1 y dydzdx = 2π∫0^2 ∫0^√(4-x^2) [1/2(x^2+y^2)]^2 dydx + 2π∫0^2 ∫√(4-x^2) 2^2/3 ∫(1/2(x^2+y^2))^1 y^(2/3) dydzdx = (8/15)π∫0^2 x^5(4-x^2)^1/2 dx + (16/27)π∫0^2 (4-x^2)^3/2(2/3)x^3 dx

答：通过换元法，我们可以计算出这两个积分的值：∫0^2 x^5(4-x^2)^1/2 dx = (16/35)π∫0^2 (4-x^2)^3/2(2/3)x^3 dx = (128/105)π因此，该区域的体积为：V= (8/15)π(16/35) + (16/27)π(128/105) = (16/15)π接下来，我们来计算三重心的横坐标。根据定义，三重心的横坐标可以表示为：x = (1/V)∫∫∫ xρ(x,y,z) dV其中，ρ(x,y,z)表示密度函数。在本题中，该区域的密度是常数，因此可以直接提出来。因此，我们只需要计算x乘以密度函数的积分即可。对于底面圆的贡献，其三重心的横坐标为圆心的横坐标，即x0=0。对于圆锥体的贡献，可以用以下公式计算：x1= (1/4)V/(1/3)V0 = (3/4)h其中，V0是底面圆面积，h是圆锥体的高。由于该圆锥体的高为1，因此x1=3/4。因此，整个区域的三重心的横坐标为：x = (1/V)(0 + x1V1) = (1/V)(3/4)(1/3)V0(1/2)h^2 = (1/5)h^2 = (1/5)因此，该区域的三重心的横坐标为1/5。