Question

f(x)=(x-a)^2lnx，0<a<1,证明：f(x)存在唯一极小值点x0,且-1/2e<f(x0)<0

Answer 1

问：f(x)=(x-a)^2lnx，0

答：首先，可求得$f'(x)=2(x-a)lnx+\frac{(x-a)^2}{x}$，令$f'(x)=0$，可以得到$x_0=eW(2e^{-2(a-1)})+a$，其中$W(x)$为 Lambert W 函数。由于$00$，且$(x_2-a)^2>

答：对于$x_1\in(0, x_0)$，可以得到$f'(x_1)=2(x_1-a)lnx_1+\frac{(x_1-a)^2}{x_1}<0$，因为$00$，且$(x_2-a)^2>0$，又因为$x_2>0$，所以$\frac{(x_2-a)^2}{x_2}>0$。综上所述，$f'(x_1)0$，且$f'(x_0)=0$，因此$f(x_1)>f(x_0)$和$f(x_2)>f(x_0)$。所以，$x_0$是$f(x)$的极小值点。最后，我们需要证明$-1/2e