Question

5.计算题y'=2xy+6x 满足y(0)=-2的特解？

Answer 1

问：5.计算题y'=2xy+6x 满足y(0)=-2的特解？

答：这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用分离变量法解决。将方程变形为dydx−2xy=6xdydx−2xy=6x\frac{dy}{dx} - 2xy = 6x将y(x)表示为一个函数和x的乘积：y(x)=u(x)v(x)y(x)=u(x)v(x)y(x) = u(x)v(x)将其代入方程，得到：dydx=u′⋅v+u⋅v′dydx=u′⋅v+u⋅v′\frac{dy}{dx} = u'\cdot v + u\cdot v'代入方程得：u′⋅v+u⋅v′−2xu(x)v(x)=6xu′⋅v+u⋅v′−2xu(x)v(x)=6xu'\cdot v + u\cdot v' - 2xu(x)v(x) = 6x将v(x)移到右边，得：u′⋅v=6x−u⋅v′ +2xu(x)v(x)u′⋅v=6x−u⋅v′ +2xu(x)v(x)u'\cdot v = 6x - u\cdot v'\ + 2xu(x)v(x)令v'(x) = 0，得：v(x)=C1v(x)=C1v(x) = C_1其中，C1是一个任意常数。将v(x)代入u(x)的方程中，得：u′⋅C1=6x−u⋅0+2xu(x)⋅C1u′⋅C1=6x−u⋅0+2xu(x)⋅C1u'\cdot C_1 = 6x - u\cdot 0 + 2xu(x)\cdot C_1将u(x)移到左边，得到：dudx−2xu(x)C1=6xdudx−2xu(x)C1=6x\frac{du}{dx} - 2xu(x)C_1 = 6x这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用积分因子法求解，积分因子为：μ(x)=e∫−2xC1dx=e−x2C1μ(x)=e∫−2xC1dx=e−x2C1\mu(x) = e^{\int -2xC_1dx} = e^{-x^2C_1}将其乘到方程两边，得到：ddx(u(x)e−x2C1)=6xe−x2C1ddx(u(x)e−x2C1)=6xe−x2C1\frac{d}{dx}(u(x)e^{-x^2C_1}) = 6xe^{-x^2C_1}对其进行积分，得到：u(x)e−x2C1=∫6xe−x2C1dxu(x)e−x2C1=∫6xe−x2C1dxu(x)e^{-x^2C_1} = \int 6xe^{-x^2C_1}dx这是一个高斯积分

答：首先我们需要确定x的值才能进行计算。如果x为任意实数，则结果也会是任意实数。假设x=2，则计算过程如下：x√x2-1 = 2 * √(22 - 1) = 2 * √3 ≈ 3.464因此，当x=2时，5后 x√x2-1 的结果约为3.464。如果x取其他值，则结果会有不同。