Question

怎么证明平移是线性变换

Answer 1

问：怎么证明平移是线性变换

答：# 平移是线性变换 可以通过以下方式证明： 对于平面上的两个点A(x ?y ?和B(x ?y ?，我们进行平移变换后得到的新点A'(x ?,y ?)和B'(x ?,y ?)，若平移变换是线性的，那么有以下关系成立：A'+B'=(x ?x ?y ?y ? 另一方面，我们可以先分别对A和B进行平移变换，再将得到的新点连接起来，形成一条线段AB。同时，将原始点与新点分别连接，形成两条平行线段A'A和B'B。我们可以观察到，线段A'B'的长度和方向与线段AB是完全相同的。这说明平移变换保持了线段的长度和方向。 接下来，我们来验证平移变换是否满足线性性质。对于标量k∈R，我们可以对点A进行平移变换得到新点A'，再对新点A'进行平移变换得到另一个新点A''。如果平移是线性的，那么将点A先进行平移再进行另一次平移应该等价于将点A进行一次平移得到的新点再进行相同的平移，即：(A+B)+C=(A+C)+B 根据定义，我们可以发现左右两边等式的结果都是将点A进行两次平移得到的新点。因此，我们可以得出结论，平移是满足线性性质的。 综上所述，我们通过观察和验证可以证明平移是线性变换。

问：不好意思，麻烦再讲详细些呢？

答：**平移是线性变换的证明如下：** * 对于平面上的两个点A(x ? y ?和B(x ? y ?，平移变换后得到的新点A'(x ?, y ?)和B'(x ?, y ?)。 * 若平移变换是线性的，则有A'+B'=(x ?x ? y ?y ?。 * 同时，线段A'B'的长度和方向与线段AB完全相同，这说明平移变换保持了线段的长度和方向。 * 为了验证平移变换是否满足线性性质，可以将点A进行两次平移，结果是点A进行一次平移后得到的新点再进行相同的平移，即(A+B)+C=(A+C)+B。 * 根据以上验证，我们可以得出结论：平移是满足线性性质的。 * 综上所述，我们证明了平移是线性变换。