Question

__-|||-20.设abcd是一个四位数,若 a-b+c-d 可以被11整除,证明abcd可以被11整

Answer 1

问：__-|||-20.设abcd是一个四位数,若 a-b+c-d 可以被11整除,证明abcd可以被11整

答：**-|||-20. 设abcd是一个四位数, 若 a-b+c-d 可以被11整除, 证明abcd可以被11整除** **~**因为 $a-b+c-d$ 可以被 $11$ 整除，所以有 $a+d = b+c$ 或者 $a+d = b+c+11$。 * 如果 $a+d=b+c$，那么有 $10a+d = 10b+c$，即 $(10a+d)-(10b+c)=0$，该差是一个11的倍数，因为相邻位之差为11，所以 $abcd$ 是 $11$ 的倍数。 * 如果 $a+d=b+c+11$，那么有 $10a+d = 10b+c+11$，即 $(10a+d)-(10b+c)=11$，该差是一个11的倍数加上11，所以 $abcd$ 不是 $11$ 的倍数。 只有当 $a-b+c-d$ 可以被 $11$ 整除时，$abcd$ 才可以被 $11$ 整除。 **证毕。**

问：第一步不明白

答：亲~ 首先可以将四位数 $abcd$ 表示成 $1000a+100b+10c+d$ 的形式。 然后根据 $a-b+c-d$ 可以被 11 整除这个条件，可以得到：$(a+b+c+d)-(b+d)-(a+c)=(a-b+c-d)$。 $(a+b+c+d)-(b+d)-(a+c)$ 等价于 $1000a+100b+10c+d-100b-10d-100a-10c=900a-90d$，即 $900(a-d)$。 所以，$a-b+c-d$ 可以被 11 整除等价于 $900(a-d)$ 可以被 11 整除。 因为 11 与 900 互质，所以 $a-d$ 可以被 11 整除，这就意味着 $a$ 和 $d$ 除以 11 的余数相同，$b$ 和 $c$ 除以 11 的余数相同。