Question

整系数多项式，a为整数，b为任意整数，f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1求证f(b)不等于-1

Answer 1

问：整系数多项式，a为整数，b为任意整数，f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1求证f(b)不等于-1

答：证，设g(x)=f(x)- 1则g(x)=(x-a) (x-a-1)(x-a- 2)q(x),q(x)仍为整系数多项式。对整数c,若g(b)=0,则f(b)=1=-1.或g(b)≠0， 则f(b)-1=(b-a)(b-a- 1)(b-a-2)q(b)≠0，所以b-a, b-a-1, b-a- 2中至少有两个不等于土1, 故f(b)- 1不会是素数，特别地f(b)-1≠2， 即f(b)≠1.