Question

求曲线x=t,y=-t^2,z=3t-1上的点, 使曲线在该点处的切线平行于平面 3x-y+z=1

Answer 1

问：求曲线x=t,y=-t^2,z=3t-1上的点, 使曲线在该点处的切线平行于平面 3x-y+z=1

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答：亲你好，很高兴为您解答。曲线x=t,y=t^2,z=t^3 的切线斜率x=1,y = 2t,z=3t^2切线平行于平面x+2y+z=4,切线斜率与平面的法向量点积为0 1*1+2t*2+3t^2*1 = 0 t= -1 或 -1/3,代入直线方程x=-1,y=1,z=-1,或 x=-1/3,y=1/9,z=-1/27 1、设曲线上t＝a对应的点P(a,a^2,a^3)处的切线平行于平面x+2y+z=4。dx/dt＝1，dy/dt＝2t，dz/dt＝3t^2曲线上点P处的切线的方向向量是(1,2a,3a^2)，平面的法向量是(1,2,1)，切线与平面平行，则(1,2a,3a^2)与(1,2,1)垂直，有(1,2a,3a^2)*(1,2,1)＝1＋4a＋3a^2＝0，得a＝-1或-1/3，所以点P的坐标是(-1,1,-1)或(-1/3,1/9,-1/27)所以，曲线上点(-1,1,-1)或(-1/3,1/9,-1/27)处的切线平行于平面x+2y+z＝4 2、设曲面上点P(a,b,c)处的切平面平行于平面x+4y+6z＝0，则切平面的法向量平行于(1,4,6)设F(x,y,z)＝x^2＋2y^2＋3z^2－21，αF/αx＝2x，αF/αy＝4y，αF/αz＝6z，所以点P处切平面的法向量可以取作(a,2b,3c)所以，(a,2b,3c)//(1,4,6)，所以a＝b/2＝c/2又点P在曲面上，所以a^2＋2b^2＋3c^2＝21由a＝b/4＝c/6，a^2＋2b^2＋3c^2＝21得a＝1，b＝2，c＝3或a＝-1，b＝-2，c＝-3，所以点P是(1,2,3)或(-1,-2,-3)，所以点P处的切平面的方程是x+4y+6z＝±21