Question

已知a,b为正实数,且1/a+1/b=1,则2/a-1+8/b-1的最小值为

Answer 1

问：已知a,b为正实数,且1/a+1/b=1,则2/a-1+8/b-1的最小值为

答：您好，亲亲我们这边为您查询到：证法一:∵(a+)(b+)=ab+++,由于+≥2,故只要证明ab+≥,即证4a2b2-17ab+4≥0,即(4ab-1)(ab-4)≥0.由条件a+b=1,得ab≤()2=,∴4ab-1≤0,ab-4＜0.∴(4ab-1)(ab-4)≥0.∴4a2b2-17ab+4≥0.∴4ab-17+≥0,即ab+≥.又∵+≥2,∴ab+++≥2+=.∴(a+)(b+)≥.证法二:∵a+b=1,∴(a+b)2=1,即a2+b2=1-2ab.要证(a+)(b+)≥,只要证明4(a2+1)(b2+1)≥25ab,即4a2b2+(4a2+4b2)+4≥25ab,即4a2b2+4(1-2ab)+4-25ab≥0.整理得4a2b2-33ab+8≥0.只需证明(4ab-1)(ab-8)≥0.(*)∵ab≤()2=,∴4ab-1≤0,ab-8＜0.∴(4ab-1)(ab-8)≥0成立.其中当且仅当a=b=时取“=”.∴(a+)(b+)≥.