Question

xsinx在0到正无穷上是不是一致连续

Answer 1

问：xsinx在0到正无穷上是不是一致连续

答：xsinx在0到正无穷上是一致连续，是的，可以求出它的极限，满足一直连续定义

答：证明：结论是f（x）在[0，+∞）上一致连续。证明如下： 首先，对于任意大于1的正数K，f（x）在[0，K]上连续，所以一致连续。另一方面，当x＞1时，|f′(x)|＝|dsinxdx|＝|cosx2x|＜12，故f（x）在[1，+∞）上一致连续，注意到[0，K]∩[1，+∞]=[1，K]，所以f（x）在[0，+∞）上是一致连续。 或者，注意到对任意0≤x≤y＜+∞，成立|f(y)"f(x)|＝|siny"sinx|≤|y"x|≤y"x，由此，即可得到f（x）在[0，+∞）上是一致连续。首先，说明f（x）在[0，K]（K＞1）上一致连续；然后，说明其导函数是有界的；最后，得出一致连续的结论。