Question

三用拉氏变换求解常微分方程+4y&+3y=0,y(0)=1,(0

Answer 1

问：三用拉氏变换求解常微分方程+4y&+3y=0,y(0)=1,(0

答：您好，这里帮您了解到此题可以不用拉氏变换求解！ 解：∵齐次方程$y''+4y'+3y=0$的特征方程是$r^{2}+4r+3=0$， $==>r_{1}=-1,r_{2}=-3$ ∴此齐次方程的通解是$y=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t}$，$(C_{1},C_{2}$是积分常数) 设原方程的特解是$y=Ate^{-t}$， $==>y'=Ae^{-t}-Ate^{-t}$，$y''=Ate^{-t}-2Ae^{-t}$ 代入原方程得$Ate^{-t}-2Ae^{-t}+4[Ae^{-t}-Ate^{-t}]+3Ate^{-t}=e^{-t}$， $==>2Ae^{-t}=e^{-t}$，$==>A=\frac{1}{2}$ 即原方程的特解是$y=\frac{te^{-t}}{2}$ 故原方程的通解是$y=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t}+\frac{te^{-t}}{2}$，$(C_{1},C_{2}$是积分常数)。 ∵$y(0)=y'(0)=1$， $y'=-C_{1}e^{-t}-3C_{2}e^{-3t}+\frac{e^{-t}}{2}-\frac{te^{-t}}{2}$， $==>C_{1}+C_{2}=-C_{1}-3C_{2}+\frac{1}{2}=1$， $==>C_{1}=\frac{7}{4},C_{2}=-\frac{3}{4}$ ∴原方程满足条件$y(0)=y'(0)=1$的解是$y=\frac{7e^{-t}}{4}-\frac{3e^{-3t}}{4}+\frac{te^{-t}}{2}$。