Question

若模拟信号f(t)↔F(w),求零阶抽样保持信号的频谱Fso(w)

Answer 1

问：若模拟信号f(t)↔F(w),求零阶抽样保持信号的频谱Fso(w)

答：零阶抽样保持信号的频谱Fso(w)可以通过将模拟信号f(t)进行周期延拓，然后在每个采样点处进行采样和保持操作得到。具体地，设采样周期为T，抽样信号为s(t)，则有：s(t) = f(nT)，其中n为整数对s(t)进行傅里叶变换得到其频谱：S(w) = 1/T * Σ[ F(w - kωs) ]，k为整数其中ωs=2π/T为采样角频率。由于零阶保持操作等价于在每个采样点处插入一个冲激函数，因此可以将上式中的F(w-kωs)替换成F(kωs)，即可得到零阶抽样保持信号的频谱：Fso(w) = 1/T * Σ[ F(kωs) ]，k为整数上式中的Σ表示对所有整数k进行求和。由于F(w)是连续的频域函数，而Fso(w)是离散的频域函数，因此可以将Fso(w)看作是对F(w)进行周期复制后再进行取样得到的结果。具体地，假设F(w)在一个周期内为Fp(w)，则有：Fp(w) = 1/T * Σ[ F(kωs + w0) ]，k为整数其中w0为任意常数，用于确定一个周期内的起始点。然后在每个采样点处取样得到：Fso(w) = Fp(nωs)，n为整数上式即为零阶抽样保持信号的频谱表达式。需要注意的是，在实际应用中，通常会对采样信号进行低通滤波以去除高频成分，避免混叠现象的发生。因此，在计算零阶抽样保持信号的频谱时，还需要考虑滤波器对频谱的影响。一般来说，可以将滤波器看作是一个加权函数，并将其乘到原始频谱上得到经过滤波器作用后的频谱。具体地，在本题中可以表示为：Fso(w) = 1/T * Σ[ H(ω - kωs)* F(kωs + w0) ]，k为整数其中H(ω)为滤波器的频率响应函数。上式中的H(ω - kωs)表示将滤波器的频率响应函数在频率ω - kωs处进行平移，然后乘到F(kωs + w0)上。这样就可以考虑滤波器对频谱的影响了。需要注意的是，上述表达式中的Σ仍然表示对所有整数k进行求和，因此需要保证滤波器的带宽足够宽，能够覆盖所有采样点对应的频否则就会出现混叠现象，导致采样信号无法恢复原始信号。总之，计算零阶抽样保持信号的频谱需要考虑以下几个因素：1. 采样周期T和采样角频率ωs；2. 原始信号f(t)对应的频域函数F(w)；3. 滤波器的频率响应函数H(ω)；4. 零阶抽样保持操作等价于插入根据以上因素，

答：可以得到零阶抽样保持信号的频谱表达式。