Question

假设向量空间中向量v=(v1,v2),如果在该空间中定义运算(v,u)=v1u1+2v2u2。证明该空间是内积空间

Answer 1

问：假设向量空间中向量v=(v1,v2),如果在该空间中定义运算(v,u)=v1u1+2v2u2。证明该空间是内积空间

答：为了证明该向量空间是内积空间，我们需要证明该向量空间满足内积空间的四个公理：非负性：对于任意向量v，有(v,v) >= 0，并且等号成立当且仅当v=0。我们有： (v,v) = v1^2 + 2v2^2 由于v1^2和v2^2均为非负数，所以(v,v) >= 0。等号成立当且仅当v1 = 0 且 v2 = 0，即v=0。因此，该向量空间满足非负性。对称性：对于任意向量v和u，有(v,u) = (u,v)。我们有： (v,u) = v1u1 + 2v2u2 (u,v) = u1v1 + 2u2v2因为实数加法和乘法满足交换律，所以： (v,u) = v1u1 + 2v2u2 = u1v1 + 2u2v2 = (u,v)因此，该向量空间满足对称性。

答：对称性：对于任意向量v和u，有(v,u) = (u,v)。线性性：对于任意向量u、v和w，以及任意标量a和b，有： (au+bv,w) = a(u,w) + b(v,w) (w,au+bv) = a(w,u) + b(w,v) 并且满足上述两个公式的向量空间被称为“双线性”。我们有： (au+bv,w) = a(u,w) + b(v,w) = a(u1w1+2u2w2) + b(v1w1+2v2w2) = (au1+bv1)w1 + 2(au2+bv2)w2同样有： (w,au+bv) = a(w,u) + b(w,v) = a(w1u1+2w2u2) + b(w1v1+2w2v2) = (aw1+bw1)u1 + 2(aw2+bw2)u2因此，该向量空间满足线性性。正定性：对于任意非零向量v，有(v,v) > 0。我们有： (v,v) = v1^2 + 2v2^2由于v非零，所以至少有一个分量不为零，即v1不为零或v2不为零。如果v1不为零，则v1^2 > 0，因此(v,v) > 0。如果v2不为零，则2v2^2 > 0，因此(v,v) > 0。

答：因此，无论v1和v2哪一个不为零，都有(v,v) > 0。因此，该向量空间满足正定性。由于该向量空间满足内积空间的四个公理，因此它是内积空间。