Question

求sinx+cosx/cos²x-sin²x的不定积分

Answer 1

问：求sinx+cosx/cos²x-sin²x的不定积分

问：答案呢

问：好的谢谢

答：我们可以将被积函数进行分式拆分，得到：sinx + cosx ------------ cos²x - sin²x = (sinx/cosx) / (cosx/sinx - sinx/cosx) + (cosx/sinx) / (cosx/sinx - sinx/cosx) = tanx / (cosx - sinx) + cotx / (cosx + sinx) 现在我们要对上面这个式子进行求积分，可以将其拆分成两个部分：∫ tanx / (cosx - sinx) dx + ∫ cotx / (cosx + sinx) dx 对于第一个部分，可以进行变量代换 u = cosx - sinx，即 du/dx = cosx + sinx，从而：∫ tanx / (cosx - sinx) dx = -∫ tanx du/u = -ln|u| + C = -ln|cosx - sinx| + C 对于第二个部分，可以进行变量代换 v = cosx + sinx，即 dv/dx = cosx - sinx，从而：∫ cotx / (cosx + sinx) dx

答：我们可以将被积函数进行分式拆分，得到：sinx + cosx ------------ cos²x - sin²x = (sinx/cosx) / (cosx/sinx - sinx/cosx) + (cosx/sinx) / (cosx/sinx - sinx/cosx) = tanx / (cosx - sinx) + cotx / (cosx + sinx) 现在我们要对上面这个式子进行求积分，可以将其拆分成两个部分：∫ tanx / (cosx - sinx) dx + ∫ cotx / (cosx + sinx) dx 对于第一个部分，可以进行变量代换 u = cosx - sinx，即 du/dx = cosx + sinx，从而：

答：∫ tanx / (cosx - sinx) dx = -∫ tanx du/u = -ln|u| + C = -ln|cosx - sinx| + C 对于第二个部分，可以进行变量代换 v = cosx + sinx，即 dv/dx = cosx - sinx，从而：∫ cotx / (cosx + sinx) dx = ∫ cotx dv/v = ln|v| + C = ln|cosx + sinx| + C 因此，将两个部分加起来，得到原函数的不定积分为：-ln|cosx - sinx| + ln|cosx + sinx| + C = ln|cosx + sinx| / |cosx - sinx| + C