Question

不定积分1—0ln(根号下1+x^2+x)dx

Answer 1

问：不定积分1—0ln(根号下1+x^2+x)dx

答：亲 您好，非常抱歉，让您久等了哦，根据您所描述的问题：不定积分1—0ln(根号下1+x^2+x)dx

答：要求不定积分：∫[1,0] ln(√(1+x^2+x)) dx我们可以尝试使用分部积分法。令 u = ln(√(1+x^2+x))，dv = dx，则 du = 1/(2√(1+x^2+x)) * (1+2x)dx，v = x。那么，原式可以表示为：∫[1,0] ln(√(1+x^2+x)) dx = [x ln(√(1+x^2+x))]₁⁰ - ∫[1,0] x/(2√(1+x^2+x)) * (1+2x)dx现在，我们需要计算 ∫[1,0] x/(2√(1+x^2+x)) * (1+2x)dx。令 u = 1+x^2+x，那么 x/(2√(1+x^2+x)) = x/(2√u)，并且 (1+2x)dx = du。因此，原式可以进一步化简为：∫[1,0] x/(2√(1+x^2+x)) * (1+2x)dx = ∫[2,1] 1/(2√u) du使用换元法，令 v = √u，则 du = 2v dv，积分变为：∫[2,1] 1/(2√u) du = ∫[√2,1] 1/v dv = ln|v| from √2 to 1 = ln(1) - ln(√2) = -ln(√2)因此，∫[1,0] ln(√(1+x^2+x)) dx = [x ln(√(1+x^2+x))]₁⁰ - ∫[1,0] x/(2√(1+x^2+x)) * (1+2x)dx= 0 - (-ln(√2)) = ln(√2)因此，原式的值为 ln(√2)。