Question

从某正态总体中随机抽取一个n=25的样本，其平均值数为`X=42，已知总体的标准差为6，试估计总体

Answer 1

问：从某正态总体中随机抽取一个n=25的样本，其平均值数为`X=42，已知总体的标准差为6，试估计总体

答：根据中心极限定理，样本均值的抽样分布可以近似看做服从正态分布，且其均值为总体均值，标准差为 \sqrt{n}σ 。因此，我们可以建立如下置信区间来估计总体均值： $\bar{X} \pm \frac{z \alpha/2}{\sqrt{n}} \cdot \sigma$ 其中，$\bar{X}$ 为样本平均数，σ 为已知总体标准差，n 为样本容量，$z \alpha/2$ 为置信水平为 α 的正态分布的上分位数。假设置信水平为95%，则 α=0.05，故 $z \alpha/2=1.96$。代入数据得到：42±1.96×25642±1.96× 6^2 即42±2.35242±2.352因此，总体均值的置信区间约为 (39.65, 44.35)。