Question

【设有一个一维无限深势阱，宽度为a，里面有一个质量为m的粒子。求该粒子的能级和波函数，并计算其在x=a/4处出现的概率。】

Answer 1

问：【设有一个一维无限深势阱，宽度为a，里面有一个质量为m的粒子。求该粒子的能级和波函数，并计算其在x=a/4处出现的概率。】

答：该一维无限深势阱的势能函数为： V(x) = { 0, 0 <= x <= a ∞, x 0 or x > a 因为这个是一个一维无限深势阱，所以我们可以使用时空分离变量法来解决它。 假设波函数为： ψ(x) = A sin(kx) 需要满足波函数在x = 0 和 x = a处为0，因此有： ψ(0) = 0 ψ(a) = 0 代入波函数得： A sin(k × 0) = 0，即：A = 0 或者sin(k × 0) = 0，即：k = 0 A sin(k × a) = 0，即：A = 0 或者sin(k × a) = 0，由于A ≠ 0，所以sin(k × a) = 0, 即：k = mπ/a，其中m是一个整数。 因此波函数为： ψ(x) = A sin(mπx/a) 将归一化条件应用于波函数： ∫0^a |ψ(x)|^2 dx = 1 得到：A^2 ∫0^a sin^2(mπx/a) dx = 1 由于sin^2(mπx/a)是一个偶函数，所以： ∫-a/2^a/2 sin^2(mπx/a) dx = (a/2) A^2 又因为：sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x)) 所以：∫-a/2^a/2 sin^2(mπx/a) dx = (a/2) × (1/2) × (a - a/π × sin(2πm)) 将其带入归一化条件得：A^2 = (2/a) × (1 - 1/π × sin(2πm)) 因此波函数为：ψ_m(x) = sqrt(2/a) × sin(mπx/a) 能量与波函数的关系为：E_m = (m^2π^2ħ^2)/(2ma^2) 因此，该粒子的能级为：E_1 = π^2ħ^2/(2ma^2)。 将x = a/4代入波函数可以得出该位置的概率密度为：|ψ_1(a/4)|^2 = 2/a × sin^2(π/4) = 1/a 因此该粒子在x = a/4处出现的概率为1/a。