Question

an为等差数列+sn/n也为等差数列是充要条件吗

Answer 1

问：an为等差数列+sn/n也为等差数列是充要条件吗

答：您好，an为等差数列+sn/n也为等差数列是充分条件，但不是必要条件。 充分性： 假设an为等差数列，即an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。又假设sn/n也为等差数列，即sn/n=b1+(n-1)c，其中b1为首项，c为公差。则有： an = a1 + (n-1)d sn/n = b1 + (n-1)c 将sn/n代入an中，得到： a1 + (n-1)d = b1 + (n-1)c (a1 - b1) + (n-1)(d - c) = 0 由于d和c是常数，所以d-c也是常数，因此上式说明an也是等差数列。因此，an为等差数列+sn/n也为等差数列是充分条件。 然而，这个条件不是必要条件。例如，考虑以下两个数列： an = 1, 2, 3, 4, 5, ... sn/n = 1, 1.5, 2, 2.5, 3, ... 可以看出，an不是等差数列，但sn/n却是等差数列。因此，an为等差数列+sn/n也为等差数列不是必要条件。