Question

求经过点A(7，1)且与圆x²+y²=25相切的直线的方程

Answer 1

问：求经过点A(7，1)且与圆x²+y²=25相切的直线的方程

问：求经过点A(7，1)且与圆x²+y²=25相切的直线的方程

答：你好，经过点A(7,1)且与圆x²+y²=25相切的直线方程为y = -5x + 36。

答：首先，对于圆x²+y²=25，它的圆心在原点O(0,0)处，半径为r=5。因为我们要找到一条直线与圆相切且经过点A(7,1)，所以我们需要考虑以下两个条件：1. 直线L与圆C相切，即直线L的斜率等于圆C在切点处的切线斜率。2. 切点P在直线L上，其中切点P是圆C与直线L的交点。

答：由于圆C的方程为x²+y²=25，所以我们可以将其改写为y = √(25-x²) 或 y = -√(25-x²)。接下来，我们考虑直线L的方程为y = kx + b，其中k为直线L的斜率，b为直线L与y轴的截距。因为L与C相切，所以直线L的一个切点P(x₀, y₀)必须满足以下两个方程：1. y₀ = kx₀ + b2. x₀² + y₀² = 25由于P在圆C上，所以将(2)式中的y₀用(1)式表示出来，得到以下关于x₀的二次方程：x₀² + (kx₀ + b)² = 25

答：这是一个关于x₀的二次方程，我们可以通过求解它得到两个解，即切点P的横坐标。由于直线L与圆C相切，所以这两个解必须相等，即有且只有一个切点。因此，根据判别式，这个二次方程的判别式D必须等于0，即：D = 4b² - 4(k²+1)(b²-25) = 0化简后可得：b = (k²+1)/5接下来，我们考虑点A(7,1)在直线L上，代入(1)式中得到：1 = 7k + b将上面的b代入该式子，可得：k = -5最后，将k和b代入(1)式中，得到直线L的方程为：y = -5x + 36