用比值审敛法判定下列级数的敛散性: n^2/5^n

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咨询记录 · 回答于2023-06-28
用比值审敛法判定下列级数的敛散性: n^2/5^n
咱们可以使用比值审敛法来判定下列级数的敛散性:考虑级数:n^2/5^n计算级数的通项比值:a_n = n^2/5^na_{n+1} = (n+1)^2/5^{n+1}计算相邻两项的比值:a_{n+1}/a_n = [(n+1)^2/5^{n+1}]/[n^2/5^n]= [(n+1)^2/5^{n+1}][5^n/n^2]= [(n+1)^2/5][5^n/n^2]= [(n+1)^2/n^2]*[5^n/5]对于大于1的n,(n+1)^2/n^2 > 1,同时5^n/5 > 1因此,a_{n+1}/a_n > 1根据比值审敛法的判定准则,当级数的通项比值大于1时,级数发散。所以,级数n^2/5^n发散。
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