Question

用比值审敛法判定下列级数的敛散性: n^2/5^n

Answer 1

问：用比值审敛法判定下列级数的敛散性: n^2/5^n

答：亲咱们可以使用比值审敛法来判定下列级数的敛散性：考虑级数：n^2/5^n计算级数的通项比值：a_n = n^2/5^na_{n+1} = (n+1)^2/5^{n+1}计算相邻两项的比值：a_{n+1}/a_n = [(n+1)^2/5^{n+1}]/[n^2/5^n]= [(n+1)^2/5^{n+1}][5^n/n^2]= [(n+1)^2/5][5^n/n^2]= [(n+1)^2/n^2]*[5^n/5]对于大于1的n，(n+1)^2/n^2 > 1，同时5^n/5 > 1因此，a_{n+1}/a_n > 1根据比值审敛法的判定准则，当级数的通项比值大于1时，级数发散。所以，级数n^2/5^n发散。