Question

已知某选拔考试参加人数为1000人，成绩呈正态分布，平均分为65,标准差为10。(1)已知学生甲和学生乙分别考了85分和55分，问这次考试中考分高于他们的人数分别有多少?(2)若只能有200人能进入下一轮面试，问面试分数线定多少合适?

Answer 1

问：已知某选拔考试参加人数为1000人，成绩呈正态分布，平均分为65，标准差为10。 (1)已知学生甲和学生乙分别考了85分和55分， 问这次考试中考分高于他们的人数分别有多少? (2)若只能有200人能进入下一轮面试， 问面试分数线定多少合适? 【解答】 (1)解：由于考试成绩呈正态分布，且已知平均分为65，标准差为10，我们可以计算出成绩在任意分数区间内的人数分布。 对于学生甲，考了85分，高于平均分65分的20分，根据正态分布的性质，考分高于85分的人数占总人数的比例为$1 - \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{8}$。因此，考分高于85分的人数为$1000 \times \frac{3}{8} = 375$人。 对于学生乙，考了55分，低于平均分65分的10分，根据正态分布的性质，考分高于55分的人数占总人数的比例为$\frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3}$。因此，考分高于55分的人数为$1000 \times \frac{2}{3} = 667$人。 (2)解：为了确定面试分数线，我们需要找到一个合适的分数使得只有200人超过这个分数。由于成绩呈正态分布，我们可以通过正态分布表或计算得出这个分数。 根据正态分布表或计算，当$p = 0.2$时（即超过该分数的人数占总人数的20%），对应的分数为$65 + 1.645 \times 10 = 81.45$分。因此，面试分数线定为81.45分比较合适。

答：亲，您好！ (1) 对于任意一个分数值 x，高于这个分数值的人数可以用标准正态分布表中对应 z 值的概率进行估算。其中 z = (x - μ) / σ，μ 为平均分，σ 为标准差。 甲同学的 z 值为 (85 - 65) / 10 = 2，根据标准正态分布表，高于他的人数约为0.0228，即约有1000*0.0228 ≈ 23人。 乙同学的 z 值为 (55 - 65) / 10 = -1，根据标准正态分布表，高于他的人数约为0.1587，即约有1000*0.1587 ≈ 159人。 因此，考分高于甲的人数约为23人，高于乙的人数约为159人。 (2) 要将进入下一轮面试的人数限制为200人，可以根据标准正态分布表反推出对应的分数线 x。具体地，令 z = (x - μ) / σ，满足 P(Z > z) = 200 / 1000 = 0.2。其中 P(Z > z) 表示标准正态分布中 z 值大于某个值的概率。 反查标准正态分布表，当 z = 0.84 时，P(Z > 0.84) 约为 0.2。因此，有 (x - μ) / σ = 0.84，代入平均分和标准差的值可得：(x - 65) / 10 = 0.84解得 x ≈ 73.4，因此面试分数线可以定为约为 73 分。

问：某研究人员获得8名学生参加某能力考试的成绩如下表，问性别与能力间有连带关系吗表1:8名学生参加某能力考试的成绩一览表

答：首先，我们可以将成绩按照性别分别计算平均值。 男生的总成绩为 47+72+52+70+66+64 = 371，平均成绩为 371/6 ≈ 61.83。 女生的总成绩为 60+49 = 109，平均成绩为 109/2 = 54.5。 从平均分来看，男生的平均成绩略高于女生。但是，我们需要进行更加严谨的统计检验来验证是否存在显著差异。 可以采用卡方检验（chi-square test）来验证性别与能力之间的连带关系。具体步骤如下： 1. 首先，我们需要对成绩进行分类，一般可以将它们分为优秀、良好、及格和不及格四类。由于样本较小，我们这里将成绩分为两类，即及格（成绩大于等于60分）和不及格（成绩小于60分）两类。 2. 然后，我们需要对男女生在及格和不及格两个类别中的人数进行计数，得到如下表格： | 及格 | 不及格 | 总数 | | --- | --- | --- | | 男生 | 5 | 1 | 6 | | 女生 | 1 | 1 | 2 | | 总数 | 6 | 2 | 8 | 3. 接着，我们需要计算期望频数。期望频数是指如果性别与能力之间不存在任何关联，我们在每个类别中期望看到的人数。期望频数可以根据下式计算：期望频数 = (行总数 × 列总数) / 样本总数。例如，男生在及格类别中的期望频数为 (6 × 6) / 8 = 4.5。计算得到的期望频数如下表所示： | 及格 | 不及格 | 总数 | | --- | --- | --- | | 男生 | 4.5 | 1.5 | 6 | | 女生 | 1.5 | 0.5 | 2 | | 总数 | 6 | 2 | 8 | 4. 然后，我们需要计算卡方值。卡方值是一个统计量，用于衡量样本观察值与期望值之间的差异，具体计算公式如下：卡方值 = Σ [(观察频数 - 期望频数)^2 / 期望频数]。其中，Σ 表示对所有类别进行求和。计算得到的卡方值为 1.33。 5. 最后，我们需要查找卡方分布表，在给定显著性水平和自由度（df = (行数-1)×(列数-1)）的情况下，确定临界值。假设我们选择显著性水平 α = 0.05，自由度 df = (2-1)×(2-1) = 1，则临界值为 3.84。 6. 比较卡方值和临界值。如果卡方值小于临界值，则认为样本观察值与期望值

答：1. **首先**，如果样本观察值与期望值之间的差异不显著，我们则认为性别与能力之间**不存在**连带关系。相反，如果差异显著，那么关系可能就存在。 2. **在本例中**，卡方值为 1.33，小于临界值 3.84。因此，我们不能拒绝零假设，即无法得出性别与能力之间存在显著连带关系的结论。 3. **综上所述**，根据卡方检验的结果，我们不能推翻性别与能力之间不存在连带关系的零假设。 4. **但是**，由于样本量较小，这个结论的可靠性还有待进一步验证。 5. 表示强调或重要信息。

问：某测验中一问答题(满分为12分)10人得分如下表所示，请用高低分组法计算该题目的区分度和难度。[区分度D=P.-P:难度D=(P:+P)/2]表2:某测验中问答题与总分统计一览表

答：首先，将得分按照从高到低排序： 12，11，10，8，8，7，6，3，3 接下来，考虑划分高低分组。 由于有10个人参加了测验，我们可以将他们平均分为两组，即5人一组。 划分后的结果如下： 高分组：12，11，10，8，8 低分组：7，6，3，3，_ 其中，低分组中最低得分是缺失的，因为只有9个数据。因此，我们需要补充一个缺失值，可以选择用低分组的中位数3来补齐。 现在我们就可以计算区分度和难度了。 首先计算P+，即高分组得分率（即得分大于等于本题平均分的人数占总人数的比例）减去低分组得分率。 根据上面的划分，本题的平均分是8.5（即所有得分之和除以10），因此： 高分组得分率 = 5/5 = 1 低分组得分率 = 4/5 = 0.8 因此，P+ = 1 - 0.8 = 0.2 接下来计算P-，即最高分和最低分之差除以总分数（即12-3=9）。因此： P- = 9/12 = 0.75 最后，区分度D等于P-减去P+，难度D等于P+加上P-再除以2。因此： D = 0.75 - 0.2 = 0.55 D = (0.75 + 0.2) / 2 = 0.475 因此，该题目的区分度为0.55，难度为0.475。

答：根据题目信息，我们可以进行如下假设： - 原假设H0：男女生在该测试上没有显著差异，即μ1 = μ2 - 备择假设Ha：男女生在该测试上存在显著差异，即μ1 ≠ μ2 其中，μ1和μ2分别为男女生在该测试上的总体均值。因为样本量大于30，根据中心极限定理，我们可以认为样本均值的分布也近似服从正态分布。 根据题目给出的数据，可以计算得到样本均值和样本标准差： 男生样本均值x1 = 14，样本标准差s1 = √82 ≈ 9.055 女生样本均值x2 = 16，样本标准差s2 = √86 ≈ 9.273 计算出样本的t值： $t = \dfrac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ 其中，$s_p$为样本均方差，可用如下公式计算： $s_p^2 = \dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ 带入数据可得： $s_p^2 = \dfrac{(14-1)82+(16-1)86}{14+16-2} \approx 83.947$ $s_p = \sqrt{83.947} \approx 9.162$ $t = \dfrac{14-16}{9.162\sqrt{\frac{1}{14}+\frac{1}{16}}} \approx -0.549$ 根据自由度为28和显著水平为0.05时t分布的临界值表，可得$t_{0.025, 28} \approx 2.048$。因为$t < t_{0.025, 28}$，即样本t值低于临界值，所以我们不能拒绝原假设，即不存在显著差异，男女生在该测试上成绩没有差异。 综上，答案为：不拒绝原假设，男女生在该测试上成绩没有显著差异。