Question

微分方程通解dy/dx=-2y(y-2)

Answer 1

问：微分方程通解dy/dx=-2y(y-2)

答：亲亲，将方程写成：dy / (y(y-2)) = -2 dx对两边同时积分：∫ dy / (y(y-2)) = ∫ -2 dx可以使用部分分式分解来处理左边的积分：1/(y(y-2)) = A/y + B/(y-2)其中A和B是待定常数，可以通过通分的方法求解：1 = A(y-2) + By令y=0，则有A=-1/2令y=2，则有B=1/2代入原式，得到：∫ (-1/2) / y dy + ∫ (1/2) / (y-2) dy = -2x + C化简后得到：-1/2 ln|y| + 1/2 ln|y-2| = -2x + C再次化简得到：ln|y-2| / |y| = 4x + D其中D为常数。最终通解为：y(x) = 2 / (1 + Ce^(4x))，其中C为常数呢。

问：求求了

答：f(t)=cos 4t 这个吗

问：两个都需要

答：(1) 函数 f(t) = cos(4t) 的拉普拉斯变换为：L{cos(4t)} = s / (s^2 + 16)(2) 函数 f(t) = e^(-3t) 的拉普拉斯变换为：L{e^(-3t)} = 1 / (s + 3)

问：谢谢美丽的学姐啦

答：你等会哈，我看看

答：(1)∫(上标为2，下标为1) 1/√x dx= 2∫1/√x dx - ∫1/√x dx= [2√x]1^2 - [2√x]1^2= 2 - 2√2因此，∫(上标为2，下标为1) 1/√x dx = 2 - 2√2。(2)∫(上标为0，下标为1) (1+lnx)/x dx= ∫(上标为0，下标为1) 1/x dx + ∫(上标为0，下标为1) ln x / x dx= [ln x]0^1 + ∫(上标为0，下标为1) ln x d(ln x)= [ln x]0^1 + [ln^2 x / 2]0^1= 1 + ln 2/2因此，∫(上标为0，下标为1) (1+lnx)/x dx = 1 + ln 2/2。(3)令 u = √(x+1)，则有 du/dx = 1/2√(x+1)，因此 dx = 2u du。当 x = 0 时，u = √1 = 1；当 x = 3 时，u = √4 = 2。∫(上标为0，下标为3) 1/(1+√(x+1)) dx= 2∫(上标为1，下标为2) 1/(1+u) du= 2[ln|1+u|]1^2= 2ln 3 - 2ln 2= 2ln(3/2)因此，∫(上标为0，下标为3) 1/(1+√(x+1)) dx = 2ln(3/2)。(4)∫(上标为正无穷，下标为负无穷) 1/(1+x^2) dx= ∫(上标为0，下标为正无穷) 1/(1+x^2) dx + ∫(上标为负无穷，下标为0) 1/(1+x^2) dx令 x = tan t，则有 dx = 1/(cos^2 t) dt，同时有：1 + x^2 = 1 + tan^2 t = sec^2 t当 x = 0 时，t = 0；当 x = 正无穷时，t = π/2；当 x = 负无穷时，t = -π/2。因此，原式可化为：= ∫(上标为0，下标为π/2) 1/[(cos t)^2] dt + ∫(上标为-π/2，下标为0) 1/[(cos t)^2] dt= ∫(上标为0，下标为π/2) sec^2 t dt + ∫(上标为-π/2，下标为0) sec^2 t dt= [tan t]0^π/2 + [tan t]0^-π/2= ∞ - (-∞)= +∞

答：∫(from 0 to 1) (2^x + x^2) dx = (2^1 / ln(2) + 1^3 / 3) - (2^0 / ln(2) + 0^3 / 3)= (2 / ln(2) + 1 / 3) - (1 / ln(2) + 0)= 2 / ln(2) + 1 / 3 - 1 / ln(2)= 2 / ln(2) - 1 / ln(2) + 1 / 3= 1 / ln(2) + 1 / 3

答：∫(from 0 to 2) x / (1 + x^2) dx = ∫(from 1 to 5) (u - 1) / (2u) (du / (2x))= (1/4) ∫(from 1 to 5) (u - 1) / u du= (1/4) ∫(from 1 to 5) (1 - 1/u) du= (1/4) [u - ln|u|] (from 1 to 5)= (1/4) [(5 - ln(5)) - (1 - ln(1))]= (1/4) (4 + ln(5) - ln(1))= 1 + ln(5)/4

答：∫(from 0 to 1) arctan(x) dx = arctan(x) (from 0 to 1)= arctan(1) - arctan(0)= π/4 - 0= π/4

答：∫(from -∞ to 0) e^x dx = [e^x] (from -∞ to 0)= e^0 - e^(-∞)= 1 - 0= 1