Question

2.设D是由曲线y=根号x与直线x=1及y=0所围成的平面封闭图形,(1)求D的面积:(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转的体积

Answer 1

问：2.设D是由曲线y=根号x与直线x=1及y=0所围成的平面封闭图形,(1)求D的面积:(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转的体积

答：亲您好，很高兴为您解答2.设D是由曲线y=根号x与直线x=1及y=0所围成的平面封闭图形,(1)求D的面积:(2)求D绕x轴旋转一周所得旋转的体积 (1) 由对称性可知，D的面积等于直线x=1右侧曲线y=√x与x轴所围成的面积再乘以2。而这个面积可以用定积分求得：$\begin{aligned} S&=2\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,{\rm d}x\\ &=2\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{4}{3}\end{aligned}$所以D的面积为 $\frac{4}{3}$。(2) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体积，可以用圆盘法或者柱体法。这里我们选择圆盘法。将D绕x轴旋转一周所得的旋转体积等于将直线x=1右侧曲线y=√x绕x轴旋转一周所得的旋转体积再乘以2。而这个旋转体积可以用定积分求得：$\begin{aligned} V&=2\int_{0}^{1}\pi y^{2}\,{\rm d}x\\ &=2\int_{0}^{1}\pi x\,{\rm d}x\\ &=\pi\left[x^{2}\right]_{0}^{1}\\ &=\pi\end{aligned}$所以D绕x轴旋转一周所得旋转体积为$\pi$。

问：可以换个方式发过来嘛？比如写字， 这个看不懂

答：亲您好设D是由曲线y=根号x与直线x=1及y=0所围成的平面封闭图形求D的面积:1.首先要理解题目所描述的平面封闭图形D的具体形式：它是由一条vx曲线、一条x=1直线和y=0数轴围成的区域。2.要计算这个图形D的面积，需要找到其边界曲线与直线的方程。已知：y=√x：曲线方程x=1：直线方程y=0：数轴方程3.其次，要确定这三条线围成图形D的起点和终点的坐标，才能推导出其面积计算公式。根据题目描述，起点应为原点O（0,0）,终点应为（1,0）和（1,1）两个点。4.有了边界线方程和起终点坐标，就可以确定图形D的面积计算公式：面积=曲线下的区域+三角形区域-直线下的区域=f0~1√xdx + 1/2*1*√2- 1 "(0-1)=2/3+√2-1=约等于2.646

答：信息拓展：设D是由曲线y=根号x与直线x=1及y=0所围成的平面封闭图形求D绕x轴旋转一周所得旋转的体积；1.首先仍然需要理解题目描述的平面图形D的具体形状：它是由y=/x曲线、x=1直线和y=0数轴围成的区域。u我们已知D的面积约为2.646平方单位。2.求旋转体的体积，需要确定图形D绕哪条轴进行旋转，以及旋转的角度。题目中给出绕x轴旋转，旋转角度为360度，即一周。3.接下来需要确定旋转轴穿过图形D的那条边界线，这里是数轴y=0。然后可以推导出旋转体的体积公式：体积=π“曲线面积*旋转高其中，π为圆周率，曲线面积为图形D的面积2.646平方单位，旋转高为轴y=0至曲线y=√x的最大高度，为1。4.所以，图形D绕x轴旋转一周所得到的旋转体积为：V=元*2.646*1=约8.29立方单位5.综上，结合老师的解题思路，图形D绕x轴旋转一周后，其旋转体积为约8.29立方单位