Question

a方加b方等于1求(a+1)b的最大值

Answer 1

问：a方加b方等于1求(a+1)b的最大值

答：要求$(a+1)b$的最大值，可以先将$a^2+b^2=1$转化为$b$的表达式，然后求导找到极值点。 首先，将$a^2+b^2=1$转化为$b$的表达式： $b^2 = 1-a^2$ $b = \sqrt{1-a^2}$ 然后，求导： $\frac{d}{da}[(a+1)b] = \frac{d}{da}[(a+1)\sqrt{1-a^2}]$ 为了简化计算，我们可以使用链式法则来求导： $\frac{d}{da}[(a+1)\sqrt{1-a^2}] = \frac{d}{da}(a+1) \cdot \frac{d}{db}\sqrt{1-a^2}$ $\frac{d}{da}(a+1) = 1$ $\frac{d}{db}\sqrt{1-a^2} = \frac{-a}{\sqrt{1-a^2}}$ 将上述结果相乘得到： $\frac{d}{da}[(a+1)b] = 1 \cdot \frac{-a}{\sqrt{1-a^2}} = -\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$ 令导数等于0，解方程$-\frac{a}{\sqrt{1-a^2}} = 0$，得到$a=0$。 接下来，我们需要判断$a=0$是否为极值点。为此，我们可以求二阶导数： $\frac{d^2}{da^2}[(a+1)b] = \frac{d}{da}\left(-\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-a^2}} + \frac{a^2}{(1-a^2)^{\frac{3}{2}}}$ 将$a=0$代入上式，得到： $\frac{d^2}{da^2}[(a+1)b] = -\frac{1}{\sqrt{1-0^2}} + \frac{0^2}{(1-0^2)^{\frac{3}{2}}} = -1$ 由于二阶导数为负，所以$a=0$是极大值点。当$a=0$时，$(a+1)b$取得最大值。将$a=0$代入$b=\sqrt{1-a^2}$，得到$b=1$。所以，当$a=0$时，$(a+1)b$的最大值为$(0+1)\cdot1=1$。