Question

已知四边形abcd是边长为4的正方形

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于23
23时，∠PAD=60°；当PA的长度等于22或855
22或855时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值．

Answer 1

过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴PB=2，
则PA=2 ，
∴当PA的长度等于2 时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是矩形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
同理可得P在P′时，PA=PB，
此时：PA= ；
∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4﹣a），
∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．

莲山课件 原文地址：http://www.5ykj.com/shti/cusan/85814.htm

Answer 2

过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴PB=2，
则PA=2 ，
∴当PA的长度等于2 时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是矩形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
同理可得P在P′时，PA=PB，
此时：PA= ；
∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4﹣a），
∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．

Answer 3

过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4﹣a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
解答：解：（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴PB=2，
则PA=2 ，
∴当PA的长度等于2 时，∠PAD=60°；
若△PAD是等腰三角形，则只能是PA=PD，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是矩形，
∴PM=PE= AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2 ，
同理可得P在P′时，PA=PB，
此时：PA= ；
∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形；

（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，
则PG⊥BC，
∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4﹣a，
在△PAD，△PAB及△PBC中，
S1=2a，S2=2b，S3=8﹣2a，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴PE2=AE•BE，
即b2=a（4﹣a），
∴2S1S3﹣S22=4a（8﹣2a）﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣4（a﹣2）2+16，
∴当a=2时，b=2，2S1S3﹣S22有最大值16．

Answer 4

补充一下：
前面的回答只阐述了PD=PA的情况即PA=2倍根号2时候，三角形pad是等腰三角形；没有说明当PD=DA时PA的算法，（PA=DA的情况不存在）当PD=DA的时候，连接圆心和D点OD交AP于F，因为OA=OP，所以DO是三角形ADP垂直平分线，AE=2，AD=4，根据勾股定理DE=2倍根号5，这时根据三角型面积公式得DE*AF=DA*AE，所以AF=8/2倍根号5=4/根号5
所以PA=2AF=8倍根号5/5，其他略。