Question

函数极限的问题

1）x - >x0;是x从x0的两侧同时趋近并且极限相等；实际问题中可能只需要考虑单侧极限，但是这里从定义上来讲的话，"同时"从两侧趋近并"且极限相等"才能概括问题，这里是"与"的关系.2)x - >∞;书上用"|x|无限增大"来概括了趋于正负无穷的情况，但这里是"或"的关系，也就是，x趋于正无穷，x趋于负无穷，x同时趋于正负无穷这三种情况中任意一种发生都符合"|x|无限增大"，那么，我们在求一个函数在自变量趋于无穷的极限时，首先要判断自变量是(a."大于0")还是(b."小于0")，还是(c.大于和小于都有定义)，c的情况的话，需要左右极限存在并且相等。

这个看法正确吗？

Answer 1

第一种看法正确。
第二种，x趋于无穷就是|x|趋于正无穷；
x趋于正无穷，x趋于负无穷是另外两种极限过程，尽管符合|x|无限增大，但只是|x|无限增大的一种特殊形式。其实跟第一种类似，x从大于x0的方向趋于x0也是x趋于x0的一种特殊方式。不能代表x趋于x0。只要说到x趋于x0，一定是x同时从x0的左右两方趋于x0，而不是只从一个方向。
只要说自变量趋于无穷，因此一定是x既要趋于正无穷，也要趋于负无穷，一定是c这种情况。

追问

一开始似乎觉得你给的看法正确，但是结合函数定义以及这个极限的几何解释（xX时，函数图像位于两条直线之间。），所以，我还是觉得我的看法正确，也就是"或"。这个定义（同济高数page35）一开始就提到|x|大于某一正数时有定义。比如|x|>M,那么|x|>MxM(""等价于),这就是为什么后面要是实际的分为a or b or c的情况，是or，不是and.感觉这个问题是对是绝对值的概念理解，也就是|x|的集合是两个开区间的并集。

追答

不是“或”，必须是”且“。只要提到x趋于无穷，必须x在（--无穷，--a)和（a，正无穷）上都有定义，
其中a是某个常数，不能只在某一个区间上有定义。极限定义中也必须是当|x|>X时，|f(x)--b|X，不管x是小于--X，还是x>X，都得有|f(x)--b|<e成立。
如果只是a情况的话，就不叫x趋于无穷，必须说成是x趋于正无穷