Question

已知函数f(x)=(x^2)/2+alnx，若a等于-1，求f(x)单调递增区间，当x大于等于1时...

已知函数f(x)=(x^2)/2+alnx，若a等于-1，求f(x)单调递增区间，当x大于等于1时，f(x)大于lnx恒成立，求实数a取值

Answer 1

f'(x)=x+a/x
当a=-1时，f‘(x)=x-1/x>0的解集为x>1(-1<x<0舍去，lnx定义域为x>0）

当x≥1时，若要保证f(x)>lnx恒成立，即f(x)-lnx>0
设g(x)=f(x)-lnx=x²/2 +(a-1)lnx，那么则有当x∈[1,∞)时，g(x)单增，且g(1)>0
g'(x)=x+(a-1)/x，故当x∈[1,∞)时，有x+(a-1)/x>0恒成立，所以1-a<x²
如果恒大于成立，则需要1-a小于x的最小值，即1-a<1，a>0

Answer 2

若a等于-1，f(x)=(x^2)/2-lnx， 对f(x)求导： f'(x) = x - 1/x
当f'(x) >= 0时，f(x)单调递增，故单调递增区间为[-1,0)和[1,无穷大)

当x大于等于1时，f(x)大于lnx恒成立，求实数a取值
即f'(x) = x - a/x,当x>=1时，x - a/x>= 0
a/x <= x
a <= x^2 (因为x>=1)
故a的取值范围为(负无穷大, 1]

Answer 3

(1)当a=-1 f(x)=)=(x^2)/2-lnx
f'(x)= x-1/x>0
得x>1或 -1<x<0(不合) 因为对于lnx,x>0
所以单调递增 为x>1
(2)g(x)=(x^2)/2+alnx-lnx
g'(x)=x+(a-1)/x>0(x>=1) 得 x^2>(1-a)
1-a<1 得a>0

Answer 4

若a=-1,则f(x)=(x^2)/2-lnx(x>0)，f'(x)=x-1/x,令f'(x)>0,x-1/x>0,x>1,f(x)单调递增区间为（1，正无穷）
（2）设g(x)=f(x)-lnx=(x^2)/2+(a-1)lnx(x大于等于1)，g'(x)=x+（a-1)/x,
因为当x大于等于1时，f(x)大于lnx恒成立,所以g'(x)=x+（a-1)/x>0,(x大于等于1)恒成立，1-a<1,a>0