Question

已知函数F(x)=alnx+x/a-e的x次方。若a=1时，证明:F(x)存在唯一的零点

Answer 1

问：已知函数F(x)=alnx+x/a-e的x次方。若a=1时，证明:F(x)存在唯一的零点

答：定义域呢

答：您好，这里是木老师。感谢您的耐心等待。 如果a=1，那么F(x)=lnx+x-e^x。我们可以证明F(x)存在唯一的零点。首先，当x=0时，F(0)=ln0+0-e^0=-1。当x=1时，F(1)=ln1+1-e^1=1-2.718280时，F'(x)<0。这意味着函数在区间(0, +∞)上是单调递减的。因此，在区间(0, +∞)上只能有一个零点。综上所述，在a=1时，函数F(x)=lnx+x-e^x存在唯一的零点。

问：不太明白，比如说怎么得到的F（x）在0到正无穷是减函数，能把把步骤说详细的吗？

答：同学你几年级？学导数了吗？

问：学了，刚学，希望说得细致一点，有点懵。

答：好的

答：当a=1时，函数F(x)的导数F'(x)=1/x+1-e^x。对于x>0，我们可以通过比较e^x和1/x+1的大小来确定F'(x)的符号。首先，，当x>0时，e^x>1+x。其次，当x>0时，有1+x>x/x=1。综上所述，当x>0时，e^x>1+x>x/x=1。因此F'(x)=1/x+1-e^x<0。