Question

设平面薄片所占区域由x+y=2,y=x和y轴所围成密度 (x,y) 等于xy,求其关于y轴的

Answer 1

问：设平面薄片所占区域由x+y=2,y=x和y轴所围成密度 (x,y) 等于xy,求其关于y轴的

问：题不全，是求关于y轴的转动惯量

答：您好亲 很高兴为您解答，对于您的这个问题为您做出如下解答，首先我们需要找到这个平面薄片的区域范围。给定的方程是 x+y=2, y=x 以及 y轴。我们可以通过解这两个方程来找到平面薄片的边界:1.x + y = 22.y = x将第二个方程代入第一个方程，得到:x + x = 22x = 2x = 1将 x = 1 代入第二个方程，得到 y = 1。因此，平面薄片位于 (0, 0), (1, 1) 和 (1, 0) 这三个点之间。接下来，我们可以计算薄片关于 y 轴的矩 (Iy)。根据定义，矩可以表示为：Iy = ∬R x^2 * ρ(x, y) dA给定的密度函数是 ρ(x, y) = xy。我们可以将积分区域 R 从直角坐标系转换为极坐标系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)考虑到薄片位于 (0, 0), (1, 1) 和 (1, 0) 之间，我们可以得出以下积分限：r: 0 到 1θ: 0 到 π/4我们需要计算 dA，即面积微元。在极坐标系中，dA = r * dr * dθ。我们可以将密度函数和 dA 转换为极坐标系：ρ(r, θ) = r^2 * cos(θ) * sin(θ)dA = r * dr * dθ将这些代入 Iy 的定义，得到：Iy = ∬R x^2 * ρ(x, y) dA = ∬R r^2 * cos^2(θ) * r^2 * sin(θ) * r * dr * dθ

答：现在我们可以计算积分：Iy = ∫(θ=0 to π/4) ∫(r=0 to 1) r^5 * cos^2(θ) * sin(θ) dr dθ首先计算关于 r 的积分：∫(r=0 to 1) r^5 dr = [r^6/6] (0 to 1) = 1/6接下来计算关于 θ 的积分：∫(θ=0 to π/4) (1/6) * cos^2(θ) * sin(θ) dθ我们可以使用换元法来计算最后的积分。令 u = cos(θ)，则 du = -sin(θ) dθ。当 θ 从 0 到 π/4 时，u 变化范围为 1 到 1/√2，积分变为：∫(u=1/√2 to 1) (1/6) * u^2 * (-du) = -1/6 * ∫(u=1/√2 to 1) u^2 du计算得：-1/6 * [u^3/3] (1/√2 to 1) = -1/6 * (1/3 - (1/√2)^3/3) = -1/6 * (1/3 - 1/6) = -1/12因此，平面薄片关于 y 轴的矩是：Iy = -1/12

问：矩是什么？是薄片关于y轴的转动惯量吗？

答：您好亲 很高兴为您解答，对于您的这个问题为您做出如下解答：“薄片关于y轴的转动惯量”，这个确实也可以被称作矩，但更准确的术语应该是“转动惯量”。转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时其惯性大小的物理量。对于一个平面薄片绕垂直于其平面的轴旋转，其转动惯量确实可以被描述为“关于y轴的转动惯量”。