Question

由曲线y=x^2+3√x+,x=1以及x轴围成的图形的面积

Answer 1

问：由曲线y=x^2+3√x+,x=1以及x轴围成的图形的面积

答：# 曲线 y = x^2 + 3√x 与 x 轴围成的图形面积 **问题描述：** 由曲线 $y = x^2 + 3\sqrt{x}$ 和 x 轴围成的图形的面积为 $\frac{19}{3}$。 这道题目需要使用积分的方法来计算图形的面积。 首先，我们需要确定积分的上下限。 由于曲线与 x 轴围成的图形的面积，因此积分的上限应该是 $x = 1$，下限为 $0$。 因此，图形的面积可以通过以下积分来计算： $S = \int_{0}^{1} (x^2 + 3\sqrt{x}) dx$ **解题思路：** 我们可以使用积分的线性性质，将上式拆分为两个积分： $S = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{0}^{1} 3\sqrt{x} dx$ 对于第一个积分，我们可以使用幂函数的积分公式进行计算： $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$ 因此，$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$ 对于第二个积分，我们可以使用换元积分法，令 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} dx$。积分变为： $\int_{0}^{1} 3\sqrt{x} dx = 6\int_{0}^{1} u^2 du = 6\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 = 6$ 因此，图形的面积为： $S = \frac{1}{3} + 6 = \frac{19}{3}$ **结论：** 由曲线 $y = x^2 + 3\sqrt{x}$ 和 x 轴围成的图形的面积为 $\frac{19}{3}$。