Question

差分方程yt+1-yt=4的通解

Answer 1

问：差分方程yt+1-yt=4的通解

答：对于这一类问题，我们可以通过求解特解和齐次解来得到通解哦。首先我们来看齐次方程yt+1-yt=0的解法，可以使用特征方程的方法：假设yt=Ae^(rt)，则yt+1=Ae^(r(t+1))，带入齐次方程得：Ae^(r(t+1))-Ae^(rt)=0得到特征方程为：e^(r(t+1))-e^(rt)=0即：e^(rt)[e^r-1]=0解得r=0，所以齐次通解为yt=C，其中C为常数。接下来，我们来看特解的解法，由于差分方程的非齐次项为常数4，我们可以猜测特解为yt=kt+b，带入差分方程得：(k(t+1)+b)-(kt+b)=4化简后得到：k=4所以特解为yt=4t+b，其中b为常数。所以，差分方程yt+1-yt=4的通解为yt=C+4t，其中C为常数，特解为yt=4t+b，其中b为常数。

答：对于差分方程的解法，我们需要先解出齐次通解，然后再求出特解，最后通过齐次通解和特解的线性组合得到差分方程的通解。如果差分方程的非齐次项是一个函数，则需要依据函数不同的类型选择不同的猜测形式，比如如果非齐次项为指数函数，则猜测特解为指数函数。另外的话，还有一类特殊的非齐次方程，即周期性的非齐次方程，此种情况下特解只需猜测为周期函数即可。