Question

A是一个n阶矩阵,有n个互不相同的特征值,有一线性空间C(A)={X|XA=AX}证明C(A)+

Answer 1

问：A是一个n阶矩阵,有n个互不相同的特征值,有一线性空间C(A)={X|XA=AX}证明C(A)+

答：设C(A)的基为{u1,u2,…,uk}，C(A)的基为{v1,v2,…,vm}，其中k≤n，m≤n。对于任意的向量x∈C(A)+C(A)，存在向量y,z∈C(A)使得x=y+z。由于A是一个n阶矩阵，因此它有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn，分别对应于特征向量e1,e2,…,en。设x∈C(A)，则有Ax=xA。对于任意特征向量ei，有Aei=λiei，因此：A(xei)=(Ax)ei=(xA)ei=x(Aei)=xλiei=λi(xei)因此，xei∈C(A)。由于A有n个不同的特征值，因此向量x可以表示为：x=c1e1+c2e2+…+cnen+d1x1+d2x2+…+dkxk+e1y1+e2y2+…+emym其中ci,di,yi是实数，且i∈{1,2,…,n}，j∈{1,2,…,k}，l∈{1,2,…,m}。由于C(A)的维数为k，因此存在一组系数a1,a2,…,ak满足：d1x1+d2x2+…+dkxk=a1u1+a2u2+…+akuk因此：

答：因此：x=a1u1+a2u2+…+akuk+e1y1+e2y2+…+emym+(c1-d1)x1+(c2-d2)x2+…+(cn-dn)xn由于{e1,e2,…,en,x1,x2,…,xn}是线性无关的，因此C(A)+C(A)的维数为2n。既然C(A)和C(A)的维数都不超过n，所以它们的和的维数也不会超过2n。因此，C(A)+C(A)的维数为2n。