Question

lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y

Answer 1

问：lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y

答：该题需要使用到夹逼定理和极限的性质，先根据极限的定义来看，对于任何正实数ε，在某个距离原点足够近的范围内，函数f(x,y)与其极限L的差值满足|f(x,y) - L| < ε。根据夹逼定理，原式可以表示为：1<= (1+x^2y^2)^(x+y) <= (1+x^2)^(1/x) * (1+y^2)^(1/y)若令x = y，则有：1<= (1+x^4)^(1/2x) <= (1+x^2)^(1/x)由于x趋近于0，可以设 t= 1/x，则:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = lim(t→+∞)(1+t^2y^2)^t(t/t+1)^1/t令y=t，则有：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t(t/t+1)^1/t对于第一部分，(1+t^4)^1/t 当 t → +∞ 时，指数趋于0，可使用exp(ln(x))的性质：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)ln(1+t^4)^1/t)利用ln(x)的泰勒公式可得：ln(1+t^4) = t^4 - t^8/2 + O(t^12)带入得：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)(t^4 - t^8/2 + O(t^12))/t)=exp(lim(t→+∞)(t^3 - t^7/2 + O(t^11)))=exp(-∞)由于exp(x)在x → -∞ 时趋近于0，所以第一部分趋近于0对于第二部分，需要将(t/t+1)^1/t变形，其中有：(t/t+1)^1/t = ((t+1)/t)^(-1/t) = (1 + 1/t)^(-1/t) → 1/e (当t → +∞ 时)综上所述：lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = 0 / e = 0

问：可不可以再具体的阐述一下呢？

答：该题需要使用到夹逼定理和极限的性质，先根据极限的定义来看，对于任何正实数ε，在某个距离原点足够近的范围内，函数f(x,y)与其极限L的差值满足|f(x,y) - L| < ε。根据夹逼定理，原式可以表示为：1<= (1+x^2y^2)^(x+y) <= (1+x^2)^(1/x) * (1+y^2)^(1/y)若令x = y，则有：1<= (1+x^4)^(1/2x) <= (1+x^2)^(1/x)由于x趋近于0，可以设 t= 1/x，则:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = lim(t→+∞)(1+t^2y^2)^t(t/t+1)^1/t令y=t，则有：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t(t/t+1)^1/t对于第一部分，(1+t^4)^1/t 当 t → +∞ 时，指数趋于0，可使用exp(ln(x))的性质：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)ln(1+t^4)^1/t)利用ln(x)的泰勒公式可得：ln(1+t^4) = t^4 - t^8/2 + O(t^12)带入得：lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)(t^4 - t^8/2 + O(t^12))/t)=exp(lim(t→+∞)(t^3 - t^7/2 + O(t^11)))=exp(-∞)由于exp(x)在x → -∞ 时趋近于0，所以第一部分趋近于0对于第二部分，需要将(t/t+1)^1/t变形，其中有：(t/t+1)^1/t = ((t+1)/t)^(-1/t) = (1 + 1/t)^(-1/t) → 1/e (当t → +∞ 时)综上所述：lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = 0 / e = 0