lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y
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该题需要使用到夹逼定理和极限的性质,先根据极限的定义来看,对于任何正实数ε,在某个距离原点足够近的范围内,函数f(x,y)与其极限L的差值满足|f(x,y) - L| < ε。根据夹逼定理,原式可以表示为:1<= (1+x^2y^2)^(x+y) <= (1+x^2)^(1/x) * (1+y^2)^(1/y)若令x = y,则有:1<= (1+x^4)^(1/2x) <= (1+x^2)^(1/x)由于x趋近于0,可以设 t= 1/x,则:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = lim(t→+∞)(1+t^2y^2)^t(t/t+1)^1/t令y=t,则有:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t(t/t+1)^1/t对于第一部分,(1+t^4)^1/t 当 t → +∞ 时,指数趋于0,可使用exp(ln(x))的性质:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)ln(1+t^4)^1/t)利用ln(x)的泰勒公式可得:ln(1+t^4) = t^4 - t^8/2 + O(t^12)带入得:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)(t^4 - t^8/2 + O(t^12))/t)=exp(lim(t→+∞)(t^3 - t^7/2 + O(t^11)))=exp(-∞)由于exp(x)在x → -∞ 时趋近于0,所以第一部分趋近于0对于第二部分,需要将(t/t+1)^1/t变形,其中有:(t/t+1)^1/t = ((t+1)/t)^(-1/t) = (1 + 1/t)^(-1/t) → 1/e (当t → +∞ 时)综上所述:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = 0 / e = 0
咨询记录 · 回答于2023-04-29
lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y
该题需要使用到夹逼定理和极限的性质,先根据极限的定义来看,对于任何正实数ε,在某个距离原点足够近的范围内,函数f(x,y)与其极限L的差值满足|f(x,y) - L| < ε。根据夹带逗逼定理,原式可以表示为:1<= (1+x^2y^2)^(x+y) <= (1+x^2)^(1/x) * (1+y^2)^(1/y)若令x = y,则有:1<= (1+x^4)^(1/2x) <= (1+x^2)^(1/x)由于x趋近于0,可以设 t= 1/x,则:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = lim(t→+∞)(1+t^2y^2)^t(t/t+1)^1/t令y=t,则有:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t(t/t+1)^1/t对于第一部分,(1+t^4)^1/t 当 t → +∞ 时,指数趋于0,可使用exp(ln(x))的性质:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)ln(1+t^4)^1/t)利用ln(x)的泰勒公式可得:ln(1+t^4) = t^4 - t^8/2 + O(t^12)带入得:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)(t^4 - t^8/2 + O(t^12))/t)=exp(lim(t→+∞)(t^3 - t^7/2 + O(t^11)))=exp(-∞)由于exp(x)在x → -∞ 时趋近于0,所以第一部分趋近于0对于第二部橘启分,需蠢伍卖要将(t/t+1)^1/t变形,其中有:(t/t+1)^1/t = ((t+1)/t)^(-1/t) = (1 + 1/t)^(-1/t) → 1/e (当t → +∞ 时)综上所述:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = 0 / e = 0
可不可以再具体的阐述一下呢?
该题需要使用到夹逼定理和极限的性质,先根据极限的定义来看,对于任何正实数ε,在某个距离原点足够近的范围内,函数f(x,y)与其极限L的差值满足|f(x,y) - L| < ε。根据夹带逗逼定理,原式可以表示为:1<= (1+x^2y^2)^(x+y) <= (1+x^2)^(1/x) * (1+y^2)^(1/y)若令x = y,则有:1<= (1+x^4)^(1/2x) <= (1+x^2)^(1/x)由于x趋近于0,可以设 t= 1/x,则:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = lim(t→+∞)(1+t^2y^2)^t(t/t+1)^1/t令y=t,则有:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t(t/t+1)^1/t对于第一部分,(1+t^4)^1/t 当 t → +∞ 时,指数趋于0,可使用exp(ln(x))的性质:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)ln(1+t^4)^1/t)利用ln(x)的泰勒公式可得:ln(1+t^4) = t^4 - t^8/2 + O(t^12)带入得:lim(t→+∞)(1+t^4)^1/t = exp(lim(t→+∞)(t^4 - t^8/2 + O(t^12))/t)=exp(lim(t→+∞)(t^3 - t^7/2 + O(t^11)))=exp(-∞)由于exp(x)在x → -∞ 时趋近于0,所以第一部分趋近于0对于第二部橘启分,需蠢伍卖要将(t/t+1)^1/t变形,其中有:(t/t+1)^1/t = ((t+1)/t)^(-1/t) = (1 + 1/t)^(-1/t) → 1/e (当t → +∞ 时)综上所述:lim(x,y)→(0,0)(1+x^2y^2)^1/x+y = 0 / e = 0