Question

求下列幂级数的收敛域: ∑_(n=1)^∞(-1)^n*x^(2n+1)/2n+1

Answer 1

问：求下列幂级数的收敛域: ∑_(n=1)^∞(-1)^n*x^(2n+1)/2n+1

答：求下列幂级数的收敛域: ∑_(n=1)^∞(-1)^n*x^(2n+1)/2n+1:我们可以使用比值判别法来求解该幂级数的收敛域。设 a_n = (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)，则有：lim┬(n→∞)⁡|a_(n+1)/a_n| = lim┬(n→∞)⁡|(-1)^(n+1)*x^(2(n+1)+1)/(2(n+1)+1)* (2n+1)/(x^(2n+1)*(-1)^n)| = lim┬(n→∞)⁡|x^2/(2n+3)| = 0当 x=0 时，该级数收敛。当 x≠0 时，该级数的收敛与发散取决于级数的正负项和通项的绝对值大小，因此我们需要分别讨论：当 x>0 时，a_n 的符号与 a_1 相同，且 a_n 的绝对值单调递减趋于 0，因此根据 Leibniz 判别法，该级数收敛。当 x<0 时，a_n 的符号与 a_1 相反，且 a_n 的绝对值单调递减趋于 0，因此根据 Leibniz 判别法，该级数收敛。

答：综上所述，该级数的收敛域为 (-∞, +∞)。