Question

在数列{an}中, a1=2, a2=6, a3=16, {an+1-2an} 为等比数列.-||

Answer 1

问：在数列{an}中, a1=2, a2=6, a3=16, {an+1-2an} 为等比数列.-||

答：您好，这道题目的具体问题或者信息是不是没有给完整呢

答：由题目条件可得：an+1 - 2an = k(an - 1)其中k为等比数列的公比。将已知的前三项代入上式，可以得到：a4 - 2a3 = k(a3 - a2)a4 - 32 = k(16 - 6)k = 2因此，原等比数列为：an+1 - 2an = 2(an - 1)化简可得：an+1 = 4an - 2an-1这是一个二阶线性递推数列，可以使用通项公式来求解。假设该数列的通项公式为：an = r^n将其代入递推式中，得到：r^(n+1) = 4r^n - 2r^(n-1)整理可得：r^2 - 4r + 2 = 0解得：r1 = (4 + √14)/2 ≈ 3.56, r2 = (4 − √14)/2 ≈ 0.44因此，该数列的通项公式为：an = A * (4 + √14)^n + B * (4 − √14)^n其中A、B为待定系数。由于已知a1=2、a2=6和a3=16，可以得到：a1 = A * (4 + √14)^1 + B * (4 − √14)^1 = 2

答：a2 = A * (4 + √14)^2 + B * (4 − √14)^2 = 6a3 = A * (4 + √14)^3 + B * (4 − √14)^3 = 16解得：A ≈ 0.31，B ≈ -0.19因此，该数列的通项公式为：an ≈ 0.31 * (4 + √14)^n - 0.19 * (4 − √14)^n要求数列{an}的前n项和Sn，可以使用数学归纳法来证明：当n=1时，S1=a1=2，结论成立。假设当n=k（k≥1）时，Sn=0.31[(4+√14)^(k+1)-4]-0.19[(4-√14)^(k+1)-4]当n=k+1时，有：Sk+1 = a1 + a2 + … + ak + ak+1 = (a1 + a2 + … + ak) + ak+1 = Sk + ak+1根据数列{an}的通项公式可得：ak+1 ≈ 0.31 * (4 + √14)^(k+1) - 0.19 * (4 − √14)^(k+1)

答：因此，Sk+1 ≈ 0.31[(4+√14)^(k+2)-4] - 0.19[(4-√14)^(k+2)-4] = 0.31[(4+√14)^(k+2)-4] - 0.19[(4-√14)^(k+2)-4]由此可知，对于任意正整数n，数列{an}的前n项和为：Sn ≈ 0.31[(4+√14)^(n+1)-4] - 0.19[(4-√14)^(n+1)-4]