Question

∑k=n²→(n+1)²1/√k级数展开

Answer 1

问：∑k=n²→(n+1)²1/√k级数展开

答：我们可以将该级数展开成一个伯努利数的形式。具体来说，我们有：∑k=n²→(n+1)²1/√k = ∑k=1→(n+1)²1/√k - ∑k=1→n²1/√k = (∑k=1→(n+1)²1/√k) - (∑k=1→n1/k)^2其中，第二个等式是通过瑕疵消除法得到的。现在，我们需要考虑如何计算两个和式。对于第一个和式，我们可以使用积分逼近方法来求得一个近似解。也就是说，∫1→(n+1)²1/√x dx ≤ ∑k=1→(n+1)²1/√k ≤ 1 + ∫1→(n+1)²1/√x dx将不等式两边同时开根号并加上一个常数C，我们有：√(2n+1) + C ≤ ∑k=1→(n+1)²1/√k ≤ √(2n+1) + C'其中，C和C'是某些常数。由此可知，大约有：∑k=n²→(n+1)²1/√k ≈ √(2n+1)

答：对于第二个和式，我们需要用到一个著名的公式，即欧拉－马斯刻罗尼常数公式：lim n → ∞ (1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n)) = γ ≈ 0.5772156649因此，∑k=1→n1/k ≈ ln(n) + γ于是我们得到：∑k=n²→(n+1)²1/√k ≈ √(2n+1) - (ln(n) + γ)^2注意，这些都只是近似解，而且这里忽略了一些高阶项。但是，当n足够大时，这些近似解已经比较精确了。