Question

设均匀平面薄片所占区域如下,求指定转动惯量ρ=2acosθ

Answer 1

问：设均匀平面薄片所占区域如下,求指定转动惯量ρ=2acosθ

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦由对称性可以发现，该薄片具有旋转对称性，且转轴垂直于纸面，因此在该转轴方向的转动惯量为最大的。考虑将该薄片分解成无穷小的面元，并计算每个面元对转动惯量的贡献。令面元的面积为dA，面元的质量为dm，则有：dρ = ρx²dA其中，x为面元到转轴的距离。对于该薄片，可以使用极坐标系表示面元，令角度为θ，极径为r，则有：dA = r dr dθdm = ρ dA = ρr dr dθ在极坐标系下，转轴的位置可以表示为θ=0，因此对于一条极径为r的线段，它对转动惯量的贡献为：dρ = ρr²dθ将上式积分，可以得到整个薄片对转动惯量的贡献：ρ = ∫₀^π/2 ρr²dθ = ∫₀^π/2 2a cosθ (a sinθ)² dθ = 2a³∫₀^π/2 cosθ sin²θ dθ = 2a³∫₀^π/2 cosθ (1-cos²θ) dθ = a³因此，该薄片绕垂直于纸面的转轴的转动惯量为a³。