Question

a的伴随矩阵等于a的转置结论

Answer 1

对于矩阵A，其中第i行第j列的元素为a_ij，它的伴随矩阵Adj(A)是一个与A同阶的矩阵，它的第i行第j列的元素为A的代数余子式A_ij的符号翻转。而A的转置矩阵A^T的第i行第j列的元素为A的第j行第i列的元素a_ji。因此，我们想要证明的是：如果A的伴随矩阵等于A的转置矩阵，那么A就是对称矩阵。
如果A是对称矩阵，则A的伴随矩阵等于A。因为对称矩阵的任何两个元素都满足a_ij=a_ji，所以对于A的每一个代数余子式A_ij，它都等于A_ji，因此A的伴随矩阵Adj(A)的第i行第j列和第j行第i列元素都是a_ij，也即等于A的转置矩阵A^T的第i行第j列和第j行第i列元素，因此A的伴随矩阵等于A的转置矩阵。
接下来看证明另一个方向，即A的伴随矩阵等于A的转置矩阵，则A是对称矩阵。不妨假设A不是对称矩阵，那么存在i、j，使得a_ij≠a_ji。那么对于A的代数余子式A_ij，它等于(-1)^(i+j)M_ij，其中M_ij是A划去第i行第j列后的剩余矩阵的行列式，显然，M_ij与M_ji不等，因为它们分别删除了不同的行和列。因此，A的伴随矩阵Adj(A)的第i行第j列和第j行第i列元素将分别为A_ji和A_ij，这与A的转置矩阵A^T的第i行第j列和第j行第i列元素不同，因此A的伴随矩阵不等于A的转置矩阵，得证。
综上所述，我们证明了A的伴随矩阵等于A的转置矩阵，当且仅当A是对称矩阵。这个结论在许多数学和工程学科中都有应用，例如在线性代数中的特征值问题、在工程中的振动问题等。