Question

几何难题一道 高手救命

如图。已知菱形ABCD，对角线AC,BD相交于点O。P是BD上的一个动点。过点P，作MP⊥AB,PN⊥AD,连接MO,ON,求证OM=ON.

Answer 1

如下图：

Answer 2

上面第一个用共圆解答得不错，是不是没有学过用共圆证明呢？
如果不用共圆也可以这样证：
从O作OE垂直AB于E，作OF垂直AD于F
因为菱形对角线平分一组对角，所以O在∠BAD平分线上，OE=OF
PM⊥AB，PN⊥AD。∠AMP+∠ANP=180
因此∠MPN+∠BAD=180
OE⊥AB，OF⊥AD，∠AEO+∠AFO=180
因此∠EOF+∠BAD=180
所以∠MON=∠EOF
∠EOM=∠MON-∠EON，∠FON=∠EOF-∠EON
所以∠EOM=∠FON
∠AEO=∠AFO=90
所以△OEM≌△OFN。OM=ON

Answer 3

证明：∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴∠PMA＋∠PNA＝90°＋90°＝180°
∴A、M、P、N四点共圆
又∵∠PMA＋∠POA＝90°＋90°＝180°
∴A、M、P、O四点共圆
∴A、M、P、O、N五点共圆
∵ABCD是菱形，
∴∠NAO＝∠MAO
∴OM＝ON（相等的圆周角所对的弦相等）

Answer 4

当P点与O点重合时，仍存在PM垂直于AB，PN垂直于AD，即可用三角形全等定理，求得三角形APM和三角形ANO为全等直角三角形，则可得OM=ON

Answer 5

证明：∵PM⊥AB，PN⊥AC
∴∠PMA＋∠PNA＝90°＋90°＝180°
∴A、M、P、N四点共圆
又∵∠PMA＋∠POA＝90°＋90°＝180°
∴A、M、P、O四点共圆
∴A、M、P、O、N五点共圆
∵ABCD是菱形，
∴∠NAO＝∠MAO
∴OM＝ON