Question

集合V是全体实数,并设数域为有理数域Q+问:V是否是Q上的线性空间?如果是请

Answer 1

问：集合V是全体实数,并设数域为有理数域Q+问:V是否是Q上的线性空间?如果是请

答：你想的可能是比如C作为R上的线性空间是2维的，作为C上线性空间是1维的，作为Q上线性空间是无穷维的。C是复数域，R是实数域，Q是有理数域。所以怎么说呢。严格地说，当你定义一个线性空间时，必须先指定（数域或非数域的）域，所以线性空间本身就是跟域有关的：C作为R上的线性空间和C作为C上的线性空间是不同的线性空间。但是给定了线性空间（也就自然给定了域）其维数也就确定了。

问：怎么证明呢？

问：证明代表全体实数的v在代表有理数域的Q上

答：所谓数域，需要满足两个条件，1.包含0和1；2.对四则运算满足封闭性（除数不为0）。 由于1属于数域，由加法封闭性可知任意正整数n也属于该数域，又因为0属于该数域，由减法封闭性可知任意负整数-n=0-n也属于该数域，于是任意整数属于该数域，再根据除法封闭性可知任意两个整数之比也属于该数域，所以任意有理数属于该数域。因此，有理数域是最小的数域，任意数域都包含它

问：好的，谢谢

答：你好，我的答案已经发出去了，希望我的回答能给你带来帮助，请问您还有其他问题吗!可以提出来，我来帮你分析解答，如果没有问题了，就请辛苦您左下角《我要评价》那里帮我点 -一个赞，谢谢。祝您生活愉快！