正整数a和b使得ab＋1整除a²＋b²,求证：a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方
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您好，亲～亲～非常开心为您解答。
分两种情况来讨论即可。
（1）若a=b,则(a²＋b²)/(ab＋1)=2a²/(a²+1)
1=(a²+1)/(a²+1)≤2a²/(a²+1)<(2a²+2)/(a²+1)=2
而2a²/(a²+1)为正整数，所以2a²/(a²+1)=1为1的平方。此时a=b=1
（2）若a≠b,不妨设a>b,设a=tb,t>1,b≥1
(a²＋b²)/(ab＋1)=[(a/b)²+1]/(a/b+1/b²]=(t²+1)/(t+1/b²)
t-1=(t²-1)/(t+1)<(t²+1)/(t+1/b²)<(t²+t)/t=t+1
所以只能是(t²+1)/(t+1/b²)=t
即t²+1=t²+t/b²
t=b²
(a²＋b²)/(ab＋1)=(t²+1)/(t+1/b²)=t=b²是正整数b的平方
综上，a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方
咨询记录 · 回答于2021-11-27
正整数a和b使得ab＋1整除a²＋b²,求证：a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方
您好，我是百度特邀答主lucky老师，累计接待7000余人，CET-6，擅长英语，数学，管理类等相关知识，拥有多年教育教学相关经验，整理答案需要时间，请等待2-4分钟哦殺
您好，亲～亲～非常开心为您解答。分两种情况来讨论即可。（1）若a=b,则(a²＋b²)/(ab＋1)=2a²/(a²+1)1=(a²+1)/(a²+1)≤2a²/(a²+1)<(2a²+2)/(a²+1)=2而2a²/(a²+1)为正整数，所以2a²/(a²+1)=1为1的平方。此时a=b=1（2）若a≠b,不妨设a>b,设a=tb,t>1,b≥1(a²＋b²)/(ab＋1)=[(a/b)²+1]/(a/b+1/b²]=(t²+1)/(t+1/b²)t-1=(t²-1)/(t+1)<(t²+1)/(t+1/b²)<(t²+t)/t=t+1所以只能是(t²+1)/(t+1/b²)=t即t²+1=t²+t/b²t=b²(a²＋b²)/(ab＋1)=(t²+1)/(t+1/b²)=t=b²是正整数b的平方综上，a²＋b²/ab＋1是某个正整数的平方
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