设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B)

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御板御板08487
2022-12-21 · TA获得超过184个赞
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因为 r(AB)<=min{r(A),r(B)},且A是可逆矩阵,,所以 r(B) = r(A^-1AB) <= r(AB),故r(AB) = r(B)。

在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。m× n矩阵的秩最大为 m和 n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足的。

扩展资料:

矩阵的秩相关性质:

1、矩阵转置后秩不变;

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵;

3、r(kA)=r(A),k不等于0;

4、r(A)=0 <=> A=0;

5、r(A+B)<=r(A)+r(B);

6、r(AB)<=min(r(A),r(B));

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。

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