Question

用柯西中值定理证明等式和不等式的思路

Answer 1

问：用柯西中值定理证明等式和不等式的思路

答：如果中值等式中不含ξ的部分可以表示成两个不同函数在两点的函数值的差的比值，即(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))右边也正好可以写成这样两个函数在同一个中值点的导数的比值，则对于这类问题可以考虑使用柯西中值定理来推导验证.

答：问题研究的是两个不同函数在两点函数值差的比值，或者可以转换为这种形式的问题，则可以考虑使用柯西中值定理来探索问题的解法.【注】：同样，由于柯西中值定理由罗尔定理证明，所以一般能够用柯西中值定理证明的中值等式，都可以考虑罗尔定理来证明.但是如果是用柯西中值定理的结论来推导、验证的某些结论，则无法使用罗尔定理来替换，比如洛必达法则结论的推导.

问：柯西中值定理证明函数单调有界的思路步骤

答：证明函数有界的步骤：证明有界的思路是：存在一个正数M，使对所有x，满足|fx|

问：柯西中值定理证明函数的连续性的思路

答：首先，函数在该点要有定义；然后，函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限)；最后，函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值。就是要这三点同时满足，就可以说函数在该点连续。首先，函数在该点要有定义；然后，函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限)；最后，函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值。就是要这三点同时满足，就可以说函数在该点连续。